差の５乗の和の因数分解

(b-c)^5+(c-a)^5+(a-b)^5の因数分解を教えて下さい。

No.4 ベストアンサー 回答者： think2nd 回答日時： 2015/05/15 22:26

なんか以前にも回答したようなしないような。

数学カテゴリーで数学の質問が目立ちます。m(_ _)m
これ2項定理使っていいですか。
たとえば次のようにすると、少し肩の荷が下りて、解答一直線です。
b-c=A
c-a=B　とおいて、これら等式の両辺を加えれば
b-a=A+B　∴ a-b=-(A+B)　これらを与式に代入して
(b-c)^5+(c-a)^5+(a-b)^5=A^5+B^5-(A+B)^5
右辺の5乗を二項定理で展開して (A+B)^5=A^5+5A^4B+10AB^2+10AB^3+5AB^4+B^5
　これを代入すれば五乗の項は消えて、整理すると
(b-c)^5+(c-a)^5+(a-b)^5=A^5+B^5-(A^5+5A^4B+10AB^2+10AB^3+5AB^4+B^5)
=-5AB(A^3+2A^2B+2AB^2+B^3)
　　　　　三乗項をまとめて(A+B)の共通因数をくくり出す。
=-5AB{(A+B)^3-3AB(A+B)+2AB(A+B)}
=-5AB(A+B){(A+B)^2-AB}
　　　　後はa,b,cに戻してください。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
できました！

お礼日時：2015/05/16 15:56

No.3 回答者： Dr-Field 回答日時： 2015/05/14 01:58

No.1です。

間違えていました。忘れてください。

この回答へのお礼

了解しました！
ご連絡、ありがとうございます。

お礼日時：2015/05/14 15:42

No.2 回答者： spring135 回答日時： 2015/05/12 22:11

P=(b-c)^5+(c-a)^5+(a-b)^5

a=bとするとP=0はわかりますか

従ってPは(a-b)(b-c)(c-a)を因子に持つ。

P=(a-b)(b-c)(c-a)Q

Qは２次の対称式、つまり

Q=m(a^2+b^2+c^2-bc-ca-ab)

a=1, b=2, c=3とすると

P=(b-c)^5+(c-a)^5+(a-b)^5＝(-1)^5+2^5+(-1)^5=32-2=30

P/m=(a-b)(b-c)(c-a)(a^2+b^2+c^2-bc-ca-ab)=(-1)(-1)2(1+4+9-2-6-3)=6

ゆえにm=5

(b-c)^5+(c-a)^5+(a-b)^5=5(a-b)(b-c)(c-a)(a^2+b^2+c^2-bc-ca-ab)


ということを確認するためにちゃんとやることにします。

Pを展開してaの降冪にならべます。

P=b^5-5b^4c+10b^3c^2-10b^2c^3+5bc^4-c^5
+c^5-5c^4a+10c^3a^2-10c^2a^3+5ca^4-a^5
+a^5-5a^4b+10a^3b^2-10a^2b^3+5ab^4-b^5
=-5[(b-c)a^4-2(b^2-c^2)a^3+2(b^3-c^3)a^2-(b^4-c^4)-bc(b-c)(-b^2+bc-c^2)]
=-5(b-c)[a^4-2(b+c)a^3+2(b^2+bc+c^2)a^2-(b+c)(b^2+c^2)a+bc(b^2-bc+c^2)]

a^4-2(b+c)a^3+2(b^2+bc+c^2)a^2-(b+c)(b^2+c^2)a+bc(b^2-bc+c^2)を
(a-b)(a-c)=a^2-(b+c)a+bcで割るとa^2-(b+c)a+b^2-bc+c^2となる。

P=-5(b-c)(a-b)(a-c)(a^2-(b+c)a+b^2-bc+c^2)
=5(b-c)(a-b)(c-a)(a^2-(b+c)a+b^2-bc+c^2)

この回答へのお礼

とても丁寧な御解説をありがとうございます。

「P=(a-b)(b-c)(c-a)Q、Qは２次の対称式」
までは分かるのですが、
Q=ia^2+jb^2+kc^2-lbc-mca-nab
ではなく、下記のように
Q=m(a^2+b^2+c^2-bc-ca-ab)
括弧の中のすべての係数が同じなのはなぜなのか、
できれば教えて頂けますでしょうか？

お礼日時：2015/05/13 12:07

No.1 回答者： Dr-Field 回答日時： 2015/05/12 19:31

(b-c)^5 だけでも展開するとわかります。

これを展開すると、b^5－5b^4c^1＋10b^3c^2－10b^2c^3＋5b^1c^4－c^5となります。

ところで、答えは0ですね。