数学Ⅱ 直線問、次の２直線の交点と点(-2, 10)を通る直線の方程式を求めよ。8x-2

数学Ⅱ 直線

問、次の２直線の交点と点(-2, 10)を通る直線の方程式を求めよ。

8x-2y-19=0・・① 2x-6y+9=0・・②

kを定数として

k(8x-2y-19)+(2x-6y+9)=0 ・・・③
とすると③は2直線①, ②の交点を通る図形を表す。

なぜ 「③は2直線①, ②の交点を通る図形を表す」のですか？

No.3 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2015/10/06 22:38

例えば、２点Ａ(３，5/2)、Ｂ(２，－２)　とします。

直線 ① の式に　ｘ＝3、ｙ＝5/2　を代入すると
8･3－２･(5/2)－19＝０
24－5－19＝０
0＝0
これは正しいから、直線 ① は点Ａを通ります。
（　８ｘ－２ｙ－19＝8･3－２･(5/2)－19＝24－5－19＝０　と、計算してもいいですね。　）

直線 ① の式に　ｘ＝2、ｙ＝－2　を代入すると
8･2－２･(－2)－19＝０
16＋4－19＝０
1＝0
これは正しくないから、直線 ① は点Ｂを通りません。
（　８ｘ－２ｙ－19＝8･2－２･(－2)－19＝16＋4－19＝1≠０　と、計算してもいいですね。　）

直線が、点Ｐ(ａ，ｂ) を通るかどうかは、
ｘ＝ａ，ｙ＝ｂ　を代入して、
等式が成り立てば、点Ｐを通り、等式が成り立たなければ、点Ｐを通らないことになります。


これをふまえて、

では、質問である、
なぜ、「③ は2直線 ①, ② の交点を通る図形を表す」　かですが、
③ に、ｘ＝ａ，ｙ＝ｂ　を代入して、等式が成り立てば、
③ は、点(ａ，ｂ) を通ることになります。


２直線 ①、② の交点をＰ(ａ，ｂ) とすると、
直線 ① は点Ｐを通るから、ｘ＝ａ，ｙ＝ｂ　を代入して
８ａ－２ｂ－１９＝０　・・・・・ ①’
が成り立ちます。

また、直線 ② は点Ｐを通るから、ｘ＝ａ，ｙ＝ｂ　を代入して
２ａ－６ｂ＋１９＝０　・・・・・ ②’
が成り立ちます。

では、 ③ に、ｘ＝ａ，ｙ＝ｂ　を代入すると
ｋ(８ａ－２ｂ－19)＋(２ａ－６ｂ＋９)＝０
①’、②’を代入して
ｋ･０＋０＝０
　 ０＋０＝０
　　　 ０＝０
これは正しいから、 ③ は、　点Ｐ　つまり、 ２直線 ①、 ② の交点を通ることになります。

ｋ(８ｘ－２ｙ－19)＋(２ｘ－６ｙ＋９)＝ｋ(８ａ－２ｂ－19)＋(２ａ－６ｂ＋９)
①’、②’を代入して
＝ｋ･０＋０
＝０＋０
＝０
と計算してもいいですね。

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2015/11/20 13:49

No.2 回答者： スチールウール 回答日時： 2015/10/06 03:33

解釈ではなく証明で

例えば
y=4x
3y=x
という二直線があったとします
この二本は原点を通ります
他に原点を通る直線はと聞かれたら
y=ax
とかけますよね？
この時に無理やり(k+3)y=(4k+1)xみたいにもかけますね(a=(4k+1)/(k+3)とおけばこうなります)
これを整理したら
k(y-4x)+(3y-x)=0
となります
つまり、原点を通る直線は、他に原点を通る二本の直線の重み付き和(それぞれに何倍かしたものの和)で書けます

今回の問題では交点が原点でないのが問題です
じゃあ交点(p,q)を原点とした座標系X=x-p, Y=y-qに移してやりましょう
①をX,Yに変形すると、
8(X+p)-2(Y+q)+19=8X-2Y+8p-2q+19=0
p,qは①の上の点ですので、8p-2q+19=0になります(①にp,qを突っ込んだ式だから)
つまり、8X-2Y=0
同様にして②は
2X-6Y=0
となります

じゃあこの座標系で原点を通る直線は、初めに言ったようにそれぞれの重み付き和で書けます
つまり
k(8X-2Y)+(2X-6Y)=0

この式はX,Y座標系で(p,qを原点としたもの)なので、元の座標に戻しましょう
k(8(x-p)-2(y-q))+(2(x-p)-6(y-q))=0
k(8x-2y-8p+2q) + (2x-6y-2p+6q)=0
ここで、
-8p+2q=19, -2p+6q=9
なので最終的に交点を通る任意の直線は
k(8x-2y+19)+(2x-6y+9)=0
となり、元の直線の重み付き和となります


以上が証明になりますが、面倒なのでこうやれば求まると覚えた方が楽ですよ？

この回答へのお礼

そっすね ありがとうございます

お礼日時：2015/11/20 13:49

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2015/10/05 14:47

①と②を両方満たす(x, y)の組が「2つの直線の交点」ということになります。

この(x, y)の組は、③も満足します。

ところが、③は
　　k(8x-2y-19) = -(2x-6y+9)
あるいは
　　(8k+2)x - (2k+6)y + (-19k+9) = 0　　④
ということですから、①②を満足しない(x, y)の組も含んでいます。
つまり「③は、①②を同時に満足する(x, y)の組を含む、(x, y)の組の集合」ということです。

この④は、「④は①②を同時に満足する(x, y)を通るグラフ」を描きますので、「グラフ」を「「図形」と言い換えれば、「2直線①, ②の交点を通る図形」を描くということです。

質問者さんは、「日本語の言い回し」に戸惑っているだけではありませんか？

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2015/11/20 13:48