「箱Aには赤玉2個、箱Bには赤玉と白玉が1個ずつ、箱Cには白玉が2個入っている。無作為に1つの箱を選んで玉を1個取り出したら赤玉であった。このとき、選んだ箱の中のもう1個の玉が赤玉である確率を求めよ。」
という問題について、
1)まず、どれか箱ひとつを選んで赤玉一つを取り出した時の確率:A
2)そして選んだ箱の残りの玉が赤玉である確率:B
として考えた時、
1)P(A) = 1/3 X 2/2 + 1/3 X 1/2 = 2/6 + 1/6 = 1/2
2)P(B)はつまり、1/2でA,Bの箱を選び、その箱がAであるのは、1/2
よって、求める確率は1/4になるのではないかと思いますが、
実際は、P(B) = 1/3 X 2/2 = 1/3から P(B) / P(A) = 2/3という回答において、
なぜ、1)で一箱を選んだのに、また再度3箱から一箱を選ばなければならないのか
理由がわかりません。
申し訳ありませんが、詳しくご説明頂ける方宜しくお願い致します。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
Aが起こったとして、Bの起こる条件付き確率は
P[A](B)=P(A∩B)/P(A)
です。
A が小さく書けないので、 [A] としています。
この問題では、
「 玉を1個取り出したら赤玉であったとき、
選んだ箱の中のもう1個の玉が赤玉である条件付き確率を求めよ。 」
になるわけですが、
赤玉を取り出す事象を R
と、これはすぐにおくことができるのですが、
『 選んだ箱の中のもう1個の玉が赤玉である 』
というのは、
この箱の中には、 赤玉が 《 2個 》 入っていることになるので、
言いかえると、
『 箱Aを選ぶ 』
ことになるのではないでしょうか?
なので、
箱Aを選ぶという事象を A
とすると、
これで、求める確率は
P[R](A)=P(R∩A)/P(R)
になります。
分母の P(R) は、 質問にもある計算で、
P(R)=1/3 × 2/2 + 1/3 × 1/2 = 2/6 + 1/6 = 1/2
であり、
分子の P(R∩A) は、
P(R∩A)=P(A∩R)=1/3×2/2=2/6=1/3 ・・・・・(★)
になります。
これから、
P[R](B)=P(R∩A)/P(R)=(1/3)/(1/2)=2/3
になります。
実際は、P(B) = 1/3 X 2/2 = 1/3から P(B) / P(A) = 2/3という回答において、
なぜ、1)で一箱を選んだのに、また再度3箱から一箱を選ばなければならないのか
理由がわかりません。
↓↓↓
P(R)=1/3 × 2/2 + 1/3 × 1/2 = 2/6 + 1/6 = 1/2
の式ですが、
箱Bを選ぶという事象を B、箱Cを選ぶという事象を C とすると、
1/3 × 2/2 は、箱Aの赤玉を取り出す確率 つまり P(A∩R)=P(R∩A) で、 ( ⇦ (★)印 )
1/3 × 1/2 は、箱Bの赤玉を取り出す確率 つまり P(B∩R) です。
No.4
- 回答日時:
No.1の方の答えが、一番単純で分かりやすいですが
赤い玉を引いた時にどの箱だっかの確率を求めます
赤球は全部で3つあり、Aに二つ、Bに一つあるので、
A:2/3
B:1/3
Aだった時にもう一つの玉が赤である確率は100%
Bだった時にもう一つの玉が赤である確率は0%
よって、求めるのは
2/3*1+1/3*0=2/3
となります
No.3
- 回答日時:
企業に勤務する統計家です。
ベイズの定理の基礎中の基礎問題ですね。
周辺確率=事前確率×条件付き確率
事後確率=各周辺確率/周辺確率の和
条件付き確率とは、その箱から赤を取り出せる確率です。
それが分からないと、この問題はサッパリ分からないと思います。
箱Aは1、箱Bは1/2、箱Cは0です。
その赤玉が取り出された箱__事前確率__条件付き確率__周辺確率__事後確率
A______________________1/3_______1_____________1/3_______2/3
B______________________1/3_______1/2___________1/6_______1/3
C______________________1/3_______0_____________0_________0
これで、それぞれの箱から取り出される確率が求まりましたので、
あとは、残りの色が赤である期待値を出せば良いです。
1×2/3+0×1/3+0×0=2/3
残りの個数がいずれも1個なので、確率も同じ値になります。
このやり方に従えば、箱の中が5個でも箱が5個に増えても計算ができます。
応用として、モンティホール・ジレンマ、3人囚人問題、青色タクシー問題など
調べてみると面白いですよ。
御回答ありがとうございます。確率の問題はどうも、感覚と実際の求め方をシンクロさせることが今の段階では、
難しく少しづつ理解できるようにがんばりたいと思います。ご丁寧な回答誠にありがとうございました。
No.1
- 回答日時:
「1個取り出したら、赤玉であった」ということですから、この時点で、箱Cを選んだ可能性は無い。
したがって、「このとき」というのは、「AかBを選んだ時」というのが全てです。
箱Cを選んだ時の話は除外されています。
A箱には、赤1,赤2 という玉が入っています。
B箱には、赤3,白1 という玉が入っています。
選んだ玉が赤だったわけなので、以下の3パターン。
<Aを選んだ時>
a) 赤1を選んだ時、残りの球は赤
b) 赤2を選んだ時、残りの球は赤
<Bを選んだ時>
c) 赤3を選んだ時、残りの球は白
a,b,c のうち、残りが赤なのは、a,b です。2/3。
------------------------------------------------
あなたの考えとして書かれている、
>P(A):どれか箱ひとつを選んで赤玉一つを取り出した時の確率
「どれか箱一つを選んで、球を取り出したら、赤である確率」という意味かと思いますが、
1/3 というのが出てきているあたり、箱Cも考慮に入れていませんか?
問題の時点で既に、「取り出したら赤であった。で、このとき」とありますから、
選んだ玉が赤である確率を求める必要はないと思います。
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