確率統計です。赤玉が 3 個、白玉が 7 個入った袋がある。

赤玉が 3 個、白玉が 7 個入った袋がある。この袋から無作為に 1 個玉を取り出し、色を確認したのち袋に戻す。この操作を 800 回行う。
(1) 　赤玉が出る回数の期待値 µ を求めよ。
(2) (1) の期待値 µ について、800 回の操作のうち「µ − k 回から µ + k 回赤玉が出る確率が 0.97 以上」である
ためには、自然数 k はいくら以上でなければならないか。
二項分布の正規分布による近似で、半整数補正を用いて答えよ。


(1)240


(2)62？？

(2)があっているかわからないです、、、
半整数補正？あたりがおかしいのか、、？

すみませんがお詳しい方よろしくお願いいたします

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2022/05/08 19:43

No.1 です。

#1 に「問題文の「自然数 k はいくら以上でなければならないか」は、「いくら以下でなければならないか」のような気がします」と書きましたが、
「赤玉が出る確率が 0.97 以上」になるという条件なので「以上」でよいですね。
私の勘違いでした。

No.2 回答者： qas2021 回答日時： 2022/05/08 17:35

(2)

赤玉がでる回数 X は、二項分布 Bin(800, 3/10) に従うことから、試行回数が十分に大きければ、正規分布 N(800×3/10, 800×(3/10)×(7/10)) = N(240, 168) に近似的に従います。
よって、正規分布近似と半整数補正を用いると

P(μ - k ≦ X ≦ μ + k)
= P(μ - k - 1/2 ≦ X ≦ μ + k + 1/2)
= P(-(k + 1/2)/√168 ≦ (X - μ)/√168 ≦ (k + 1/2)/√168)
= P(|(X - μ)/√168| ≦ (k + 1/2)/√168)

標準正規分布の 98.5%点は2.170であるので

(k + 1/2)/√168 ≧ 2.170

であれば「µ − k 回から µ + k 回赤玉が出る確率が 0.97 以上」となります。
この不等式を解くと

k ≧ 2.170√168 - 1/2 ≒ 27.6

となるので、kは28以上でなければいけないことが分ります。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2022/05/08 16:27

赤玉を取り出す確率は 3/10 で、「赤玉が出か出ないか」の二項分布であり、800回試行すればほぼ「正規分布」で近似できます。

(1) その期待値は
　E ＝ np = 800 × 3/10 = 240 [回]

(2) 分散は
　V = np(1 - p) = 800 × (3/10) × (7/10) = 168
ですから、標準偏差は
　σ = √V ≒ 13.0

正規分布で確率が 0.97 となるのは、下記の標準正規分布表であれば確率値が片側 0.015 となるところなので
　Z = 2.17
あたりです。
これは「標準偏差の何倍か」ということに相当するので
　13.0 × 2.17 ≒ 28.2
自然数であれば「28」ということになります。

これは97%の確率で
　240 ± 28 回
の範囲内で赤が出るということです。

でも、問題文の「自然数 k はいくら以上でなければならないか」は、「いくら以下でなければならないか」のような気がします。