赤玉の個数の標準偏差（高校数学 確率変数と標準偏差）

袋の中に赤玉が３個、白玉が４個、合計７個の玉が入っている。
この袋から同時に３個の玉を取り出すとき、赤玉の個数Ｘの標準偏差を求めよ。

ただし、各々の玉の選択のされ方は同様に確からしい（ equally possible ）とする。（＊）

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①この問題の答えは 2・Root(6) / 7 であっているでしょうか？
期待値　E(X)=45/35=9/7
期待値　E(X^2)=75/35=15/7
を計算し、
分散　V(X)=E(X^2)-{E(X)}^2=24/49
の正の２乗根より計算しました。

②また、この標準偏差 2・Root(6) / 7 ≒ 0.70 から何が主張できるでしょうか？
E(X)=9/7≒1.28 だから 0.5 個～1.9 個の結果が68％の確率で発生する？
でも個数に0.5個や1.9個はない…
そもそも確率変数Xは正規分布ではない…
どんなことが言えるのだろう？

③主の疑問ではありませんが、（＊）の文章は、表現として改善可能でしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2020/09/22 00:50

計算してみれば

X=0 の確率：3C0 * 4C3 / 7C3 = 4/35
X=1 の確率：3C1 * 4C2 / 7C3 = 18/35
X=2 の確率：3C2 * 4C1 / 7C3 = 12/35
X=3 の確率：3C3 * 4C0 / 7C3 = 1/35
なので、期待値は
　E(X) = 0 * 4/35 + 1 * 18/35 + 2 * 12/35 + 3 * 1/35
　　　= 45/35
　　　= 9/7

一方
　E(X^2) = 0^2 * 4/35 + 1^2 * 18/35 + 2^2 * 12/35 + 3^2 * 1/35
　　　= 75/35
　　　= 15/7
より、分散は
　V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 15/7 - 81/49 = 24/49
よって標準偏差は
　σ = √V(X) = (2√6)/7

なので①は「合っている」と思います。


＞ ②また、この標準偏差 2・Root(6) / 7 ≒ 0.70 から何が主張できるでしょうか？

「赤玉の個数のばらつきが、分散で 24/49、標準偏差で (2√6)/7 」ということです。
それ以上でも、それ以下でもありません。

これをもし「正規分布」とみなせば、確率 68% で
　9/7 ± (2√6)/7　[個]
の範囲に入るということです。

＞どんなことが言えるのだろう？

定義からはそうなるということです。
あくまで「個数」と「その確率」を「かけ合わせたもの」で議論しているからです。
現実には「0 個の確率が P(0)、1 個の確率が P(1)、2 個の確率が P(2)、3 個の確率が P(3)」となるわけですが、それを「代表値」で表現しているのです。


＞③主の疑問ではありませんが、（＊）の文章は、表現として改善可能でしょうか？

どのように改善したのですか？
一応意味は通じると思いますよ。
「ランダムに取り出す」ということですよね？

この回答へのお礼

ありがとうございます。

>それを「代表値」で表現しているのです。
なるほど、代表値、ですね。考えてみると、平均だって小数で自然数ではないのだから「何を意味するか」は考察が難しそうです。

※以下、読み飛ばしていただいて構いません。（③は主の質問ではないため）

③の「同様に確からしい」は、よくサイコロの出る目について補足され、その他のところでは触れられないことが多いと思います。赤玉、白玉のすべてが、質量、形状、触感など同条件と断る必要はないでしょうか。蛇足でしょうか。忖度の範囲ですよね？という視点が１つ。

もう一つの視点は数学的に、この問題の場合は何が同様に確からしいのでしょうか？

（Ａ）「袋から１個の玉を取り出すとき、７つの玉のうちどの玉が出ることが同様に確からしい」と主張することで、同時に３個の玉を選ぶときにそれぞれの玉が選ばれることが独立試行だからと論理展開できることなのか、

（Ｂ）「袋から３個の玉を取り出すとき７つの玉のうちのどの３玉が出ることがでることが同様に確からしい」と考えるべきなのか？

（Ａ）→（Ｂ）ですから、（Ａ）の考え方でよいのでしょうか？あまり丁寧に考えなくてもよいことですね。

お礼日時：2020/09/22 09:55

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2020/09/22 11:51

No.1 です。

「お礼」を読みました。

＞なるほど、代表値、ですね。考えてみると、平均だって小数で自然数ではないのだから「何を意味するか」は考察が難しそうです。

テストの平均点だって、実際の点数は全て整数なのに、「76.3333・・・点」だったりしますよね。

＞③の「同様に確からしい」は、よくサイコロの出る目について補足され、その他のところでは触れられないことが多いと思います。赤玉、白玉のすべてが、質量、形状、触感など同条件と断る必要はないでしょうか。蛇足でしょうか。忖度の範囲ですよね？という視点が１つ。

はい、そういうことだと思います。
まあ、「数学の問題」「確率の問題」であれば、「それが当たり前」ということなのでしょうね。
「男子３人と女子４人の中から選ぶ」ときに、「イケメン、かわいい子」を優先して選んだら、確率の答は出ませんからね。

＞もう一つの視点は数学的に、この問題の場合は何が同様に確からしいのでしょうか？

「袋の中」「箱の中」の入っていて見えなければ、違いが全く分からない、手で触っただけではすべて同じ条件である、ということで、結局上に書いたことと同じことだと思いますが？
（Ａ）と（Ｂ）の違いがよく分かりません。「前提条件」と「結果」ということですか？
だとしたら、問題文に書かれるのはあくまで「前提条件」です。

この回答へのお礼

お付き合いいただきありがとうございます。
①②については解決・納得いたしました。
③についても、
>まあ、「数学の問題」「確率の問題」であれば、「それが当たり前」ということなのでしょうね。
ということなのでしょう。

>（Ａ）と（Ｂ）の違いがよく分かりません。

（Ａ）「袋から１個の玉を取り出すとき、７つの玉のうちどの玉が出ることが同様に確からしい」

（Ｂ）「袋から３個の玉を取り出すとき７つの玉のうちのどの３玉が出ることがでることが同様に確からしい」

今回は同時に３個を取り出す試行ですが、同様に確からしいのは
（Ａ）１個の玉が取り出される事象の確率同様性
（Ｂ）３個の玉が取り出される事象の確率同様性
のどちらなのでしょうか？と考えました。

お礼日時：2020/09/22 23:30