条件付き確率の問題について

「箱Aには赤玉２個、箱Bには赤玉と白玉が１個ずつ、箱Cには白玉が２個入っている。無作為に１つの箱を選んで玉を１個取り出したら赤玉であった。このとき、選んだ箱の中のもう１個の玉が赤玉である確率を求めよ。」
　という問題について、
　１）まず、どれか箱ひとつを選んで赤玉一つを取り出した時の確率：Ａ
　２）そして選んだ箱の残りの玉が赤玉である確率：Ｂ
　として考えた時、
　　１）P(A) = 1/3 X 2/2 + 1/3 X 1/2 = 2/6 + 1/6 = 1/2
　　２）P(B)はつまり、1/2でＡ，Ｂの箱を選び、その箱がＡであるのは、1/2
　　よって、求める確率は1/4になるのではないかと思いますが、
　実際は、P(B) = 1/3 X 2/2 = 1/3から P(B) / P(A) = 2/3という回答において、
　なぜ、1)で一箱を選んだのに、また再度3箱から一箱を選ばなければならないのか
　理由がわかりません。

申し訳ありませんが、詳しくご説明頂ける方宜しくお願い致します。

No.2 ベストアンサー 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2015/10/10 19:45

Ａが起こったとして、Ｂの起こる条件付き確率は

Ｐ[Ａ](Ｂ)＝Ｐ(Ａ∩Ｂ)/Ｐ(Ａ)
です。
Ａ　が小さく書けないので、　[Ａ]　としています。

この問題では、
「　玉を１個取り出したら赤玉であったとき、
　選んだ箱の中のもう１個の玉が赤玉である条件付き確率を求めよ。　」
になるわけですが、

赤玉を取り出す事象を　Ｒ
と、これはすぐにおくことができるのですが、

『　選んだ箱の中のもう１個の玉が赤玉である　』
というのは、
この箱の中には、　赤玉が　《　２個　》　入っていることになるので、　
言いかえると、
『　箱Ａを選ぶ　』
ことになるのではないでしょうか？

なので、
箱Ａを選ぶという事象を　Ａ
とすると、

これで、求める確率は
Ｐ[Ｒ](Ａ)＝Ｐ(Ｒ∩Ａ)/Ｐ(Ｒ)
になります。

分母の　Ｐ(Ｒ)　は、　質問にもある計算で、
Ｐ(Ｒ)＝1/3 × 2/2 + 1/3 × 1/2 = 2/6 + 1/6 = 1/2　
であり、
分子の　Ｐ(Ｒ∩Ａ)　は、
Ｐ(Ｒ∩Ａ)＝Ｐ(Ａ∩Ｒ)＝1/3×2/2＝2/6＝1/3　・・・・・（★）
になります。

これから、
Ｐ[Ｒ](Ｂ)＝Ｐ(Ｒ∩Ａ)/Ｐ(Ｒ)＝(1/3)/(1/2)＝2/3
になります。

実際は、P(B) = 1/3 X 2/2 = 1/3から P(B) / P(A) = 2/3という回答において、
なぜ、1)で一箱を選んだのに、また再度3箱から一箱を選ばなければならないのか
理由がわかりません。

　　↓↓↓

Ｐ(Ｒ)＝1/3 × 2/2 + 1/3 × 1/2 = 2/6 + 1/6 = 1/2
の式ですが、

箱Ｂを選ぶという事象を　Ｂ、箱Ｃを選ぶという事象を　Ｃ　とすると、
1/3 × 2/2　は、箱Ａの赤玉を取り出す確率　つまり　Ｐ(Ａ∩Ｒ)＝Ｐ(Ｒ∩Ａ)　で、　（　⇦　（★）印　）
1/3 × 1/2　は、箱Ｂの赤玉を取り出す確率　つまり　Ｐ(Ｂ∩Ｒ)　です。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2015/10/12 17:18

No.5 回答者： stomachman 回答日時： 2015/10/11 22:57

箱を選んで、玉を選んで…と考えるからややこしくなるんです。

　取り出した赤玉は、全部で3個ある赤玉のうちのどれかであり、そして、この3個のうちのどれかがより選ばれやすい、ということはない。だからどれも等確率で選ばれる。

　で、その3箇の赤玉のうち2個は、「もうひとつの玉が赤」であり、残り1個は「もうひとつの玉が白」。

　なので、求められている確率は 2/3。単にそれだけの話です。

この回答へのお礼

御回答ありがとうございました。

お礼日時：2015/10/12 17:17

No.4 回答者： スチールウール 回答日時： 2015/10/10 22:44

No.1の方の答えが、一番単純で分かりやすいですが

赤い玉を引いた時にどの箱だっかの確率を求めます
赤球は全部で3つあり、Aに二つ、Bに一つあるので、
A:2/3
B:1/3

Aだった時にもう一つの玉が赤である確率は100%
Bだった時にもう一つの玉が赤である確率は0%

よって、求めるのは
2/3*1+1/3*0=2/3
となります

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2015/10/12 17:18

No.3 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2015/10/10 22:17

企業に勤務する統計家です。

ベイズの定理の基礎中の基礎問題ですね。

周辺確率＝事前確率×条件付き確率
事後確率＝各周辺確率／周辺確率の和

条件付き確率とは、その箱から赤を取り出せる確率です。
それが分からないと、この問題はサッパリ分からないと思います。

箱Aは1、箱Bは1/2、箱Cは0です。

その赤玉が取り出された箱__事前確率__条件付き確率__周辺確率__事後確率
A______________________1/3_______1_____________1/3_______2/3
B______________________1/3_______1/2___________1/6_______1/3
C______________________1/3_______0_____________0_________0

これで、それぞれの箱から取り出される確率が求まりましたので、
あとは、残りの色が赤である期待値を出せば良いです。

1×2/3＋0×1/3＋0×0＝2/3

残りの個数がいずれも１個なので、確率も同じ値になります。

このやり方に従えば、箱の中が5個でも箱が5個に増えても計算ができます。

応用として、モンティホール・ジレンマ、3人囚人問題、青色タクシー問題など
調べてみると面白いですよ。

この回答へのお礼

御回答ありがとうございます。確率の問題はどうも、感覚と実際の求め方をシンクロさせることが今の段階では、
難しく少しづつ理解できるようにがんばりたいと思います。ご丁寧な回答誠にありがとうございました。

お礼日時：2015/10/12 17:00

No.1 回答者： soixante 回答日時： 2015/10/10 18:54

「1個取り出したら、赤玉であった」ということですから、この時点で、箱Cを選んだ可能性は無い。

したがって、「このとき」というのは、「AかBを選んだ時」というのが全てです。
箱Cを選んだ時の話は除外されています。

A箱には、赤1,赤2　という玉が入っています。
B箱には、赤3,白1 という玉が入っています。

選んだ玉が赤だったわけなので、以下の3パターン。

＜Aを選んだ時＞
a) 赤1を選んだ時、残りの球は赤
b) 赤2を選んだ時、残りの球は赤

＜Bを選んだ時＞
c) 赤3を選んだ時、残りの球は白

a,b,c のうち、残りが赤なのは、a,b　です。2/3。

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あなたの考えとして書かれている、

＞P（A)：どれか箱ひとつを選んで赤玉一つを取り出した時の確率

「どれか箱一つを選んで、球を取り出したら、赤である確率」という意味かと思いますが、
1/3　というのが出てきているあたり、箱Cも考慮に入れていませんか？

問題の時点で既に、「取り出したら赤であった。で、このとき」とありますから、
選んだ玉が赤である確率を求める必要はないと思います。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2015/10/12 17:18