複素積分の実積分への応用がわかりません。

∫{0→∞}dx/(x^4+2x^2+4)が全くわかりません。
どなたか教えていただけないでしょうか。

No.1 回答者： uen_sap 回答日時： 2015/12/14 16:29

これのどこが復素積分なのでしょうか。

しかもこの積分は代表的なもので、教科書に類似の問題はきっとあります。

No.2 回答者： Ae610 回答日時： 2015/12/14 22:57

∫[0→∞)dx/(x^4+2x^2+4)

= (1/2)・∫(-∞→∞){1/(x^2+2)^2}dx

複素変数zの関数f(z) = (1/2)・1/(z^2+2)^2を考える
z^2 + 2 = 0となるzはz = (√2)iでzは２位の極であるので留数は
Res{(1/2)・1/(z^2+2)^2 , (√2)i }
lim[z→(√2)i]d/dz{(z-(√2)i )^2・(1/2)・1/(z^2+2)^2}
= (1/2)・ lim[z→(√2)i]d/dz{1/(z+(√2)i))^2}
= (1/2)・ lim[z→(√2)i](-2・1/(z+(√2)i))^3)
= -1/((2√2)i)^3
=1/(16√2)i

∴∫{0→∞}dx/(x^4+2x^2+4) = (1/2)・∫(-∞→∞){1/(x^2+2)^2}dx
= 2πi・Res{(1/2)・1/(z^2+2)^2 , (√2)i }
= 2πi・1/(16√2)i
= √2・π/16

複素積分でやろうとするとこんなところか・・!