全微分を厳密に定義すると

全微分を厳密に定義すると、どういう説明になりますか？

(極微少量だから2乗以降の項が無視されるというだけでしょうか？)

No.1 ベストアンサー 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2015/12/21 11:20

全微分

df = ∂f/∂x*dx + ∂f/∂y*dy
に出てくるむき出しの df、dxなどの記号（「微分小」とか呼ぶことが多いです）の厳密な定義は、いくつかの流儀があります。
一番簡単な流儀は、これは、x,yがさらにtの関数のときに、
df/dt = (∂f/∂x)*(dx/dt) + (∂f/∂y)*(dy/dt)
と書けることの略記である、と考えるということですかね。（記号dxとか自体の意味を定義しないで）
この流儀であれば通常の微分と同じ範囲で定義できます。

むき出しのdxという記号自体を定義する場合の最も一般的な流儀は、微分幾何学の外微分というものです。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%96%E5%BE%AE …
この場合、少なくとも定義の上では、dxに「微小な量」みたいな概念は全く入っていません。
イメージとしては「微小なxがdx」みたいな考え方ではなくて、f の接線（接平面）の方向を表すベクトルの基底がdx, dy」みたいイメージですかね。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

多変数テイラー展開の微小量近似になることから、近似的と考えていたのですが、その辺はどうなんでしょうか？

お礼日時：2015/12/21 18:17