不定積分の問題です

x/((x+1)^(1/3))-((x+1)^(1/4))の不定積分ですが、どう解けばよいのかわかりません。
どなたか、方針だけでも教えてください。
よろしくおねがいします。

No.1 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2016/02/12 20:32

y=x+1と置換。

あとは普通に項別に不定積分していけばいいだけです。

No.2 ベストアンサー 回答者： spring135 回答日時： 2016/02/12 20:58

I=∫xdx/((x+1)^(1/3))-((x+1)^(1/4))

(x+1)^(1/12)=tとおくと

x=t^12-1

dx/dt=12t^11 ⇒　dx=12t^11dt

I=∫xdx/((x+1)^(1/3))-((x+1)^(1/4))=12∫(t^12-1)t^11dt/(t^4-t^3)
=12∫(t^12-1)t^8dt/(t-1)
=12∫(t^11+t^10+t^9+t^8+t^7+t^6+t^5+t^4+t^3+t^2+t+1)t^8dt
=12∫(t^19+t^18+t^17+t^16+t^15+t^14+t^13+t^12+t^11+t^10+t^9+t^8)dt
=12(t^20/20+t^19/19+t^18/17+t^17/17+t^16/16+t^15/15+t^14/14+t^13/13
+t^12/12+t^11/11+t^10/10+t^9/9)+C
=12[(x+1)^(20/12)/20+(x+1)^(19/12)/19+(x+1)^(18/12)/17+(x+1)^(17/12)/17
+(x+1)^(16/12)/16+(x+1)^(15/12)/15+(x+1)^(14/12)/14+(x+1)^(13/12)/13
+(x+1)/12+(x+1)^(11/12)/11+(x+1)^(10/12)/10+(x+1)^(9/12)/9]+C
=12Σ(n=9,20)[(1/n)(x+1)^(n/12)]+C