微分と積分とはなんですか

タイトル通りですが、相対性理論とはなんぞやと思って本を開いて3ページ目で既に公式ばっかりが出てきてわからなくなりました。
その中で変位→微分→速度→微分→加速度とあり、またその逆(積分)も記述してありました。
ネットをあさって見ました。車の例で考えると、微分を用いて瞬間的なものを知る事が出来るという性質から、変位→微分→速度というのは分からなくはないです。全く分からないのですが、どうして微分！？なのかが分かりません。あと一歩というところなのですが…
これはこれ以上分かることは出来ず、微分という概念として理解するべきで、それを感覚として身につけてしまうべきなのでしょうか。それとも、もっと理解できるのでしょうか教えて下さい。
(ちなみに自分は文系でした(^^;;…)

質問するのも難しいような内容で、伝わりにくいとは思いますが、どうか宜しくお願いします。

質問者からの補足コメント

• すいません(^^;;誤字がありました…
  全く分からないではなくて分かる、でした。
  わかるのですがすんなり飲み込めず、でも分かっているのにどこで引っかかっているのかがハッキリとせず…といった感じです！

    補足日時：2016/02/15 04:03

No.9 回答者： uen_sap 回答日時： 2016/02/19 09:22

微分は変化の傾きです。

独立変数を微小変化 Δx させた時、従属変数が Δy 変化する時、Δy/Δx が変化率です。
Δxを限りなく0に近づけた時の Δy/Δx が微分値です。
Δxが時間　Δt、Δyが位置（変位）であるとき、Δy/Δt は速度ですね。
即、位置（変位）の微分が速度です。

No.8 回答者： fxq11011 回答日時： 2016/02/16 19:05

微分＝瞬間の値を読み取る。

ただし、変位するものの瞬間の値を知っても、次の瞬間の値はわかりませんね。
この瞬間の値が積み重なって、これだけの変位が結果となった（距離）。
でもこの瞬間値は結果の変位量だけから求めた平均値です（速度、時間で微分）。
結果の変位量でなく途中でも変位量が変化していれば。
さらに微分すると（時間で）、瞬間に近い時間単位での変位量が求められます（加速度）。
物理では、詳しく覚えていませんが、車のナビ、GPSではなくジャイロを使うタイプ、車の方向が変わるとジャイロの回転軸が横に触れる力が起きる、その力を微分すると、方向？になり、さらに微分すると？？（失念）となるらしい、そしてこの計算はアナログ式の計算機が得意らしい。

No.7 回答者： uen_sap 回答日時： 2016/02/16 16:51

何を質問しているのか分からない。

あなたは、高校生？
数学ではどこまで学んだのでしょうか？相対論は微分積分とは全く無関係です。

No.6 回答者： puyo3155 回答日時： 2016/02/15 23:20

ほぼみなさんが正しい定義や説明を言い尽くしていますね。

ただNo1のお礼のコメントを見る限りでは、やはり端折った説明で微分・積分を理解するには、質問者の基本的な知識が足りておらず、難しいと感じました。

微分・積分は、相対性理論とは無関係に存在する、数学上のテクニックです。近代微分の開祖といえば、ニュートンやライプニッツが有名ですが、とくにニュートンは、古典物理学の理論を既述するのに、微分や積分を利用した、もしくはそのために微積分を開発したことでもわかるように、物理学にとって、必須のアイテムであることは間違いありません。

基礎を知らない概念を、端折った説明で理解するのは、ほとんど無理だと思います。神は詳細に宿るともいいますが、最低限の微積分の知識が知りたいなら、まず、高校生の数学をやって、

・　微分の定義
・　簡単な式の微分の公式
・　積分の定義
・　簡単な式の不定積分や、定積分

などの演習を繰り返し、

・　微分とは変化率であり、
・　積分とは微小面積の累積和であり、
・　微分と積分はちょうど、表と裏であり
・　空間や時間に対する変化を、微分や積分と対応させることで、速度や、加速度、移動距離などを、自在に操ることが出来て
・　多くの物理法則は、微分方程式を満たす解として与えられることが多く
・　その意味で、微分や積分そのものが、数学のテクニックでありながら、この物理的根源と結びつく概念であることがわかってくる

と思います。いそがばまわれ、がんばってください。

No.5 回答者： xs200 回答日時： 2016/02/15 15:54

曲線を「微」小な部分に「分」ける、これが微分の根本です。

車が停止しているところから発進して加速していくときの速さは一定でしょうか?
走っている車のある瞬間を切り取って速さを求めるのが微分の計算です。


ところで、物理では「速さ」と「速度」は別物です。

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2016/02/15 09:14

概念ということであれば、下記のようなものでどうでしょうか。

「微分」は「変化率」です。「位置」「距離」がどれだけ進むか（＝１秒後に何メートル進むか）（戻るか）が「速度」です。「速度」がどれだけ増えるか（＝１秒後に増えた速度）が「加速度」です。
「１秒あたりで、どれだけ変わるか」というのが「時間で微分する」ということです。
「x が１つ増えると、y がどれだけ増えるか」というのが、「y を x で微分する」ということです。（だから、「グラフの（接線の）傾き」と説明する方が多いです）

物理では、「時間とともにどう変わるか」ということで現象をとらえます。これを記述するには、「物理量を時間で微分したもの」で表現するのが便利なのです。なので、数学では「 x で微分する」ことで習う「微分」を、物理では x → t に置き換えて「時間で微分する」ことが多くなります。

「積分」はその逆で、「時間ごとの値を、一定時間続けたときの合計値・累積値」ということです。ある速度で一定時間進めば、進んだ「距離」が求まりますし、一定の加速度で加速し続ければかなりの速度になります（新幹線や飛行機のように）。
一定速度で一定時間なら、「速度 × 時間」でよいのですが、速度が時々刻々変わっていると、１時間後にどれだけ進むかは、単純な掛け算では求まりません。「１分ごとの速度で進む距離を60回足し合わせる」、さらに精密には「1秒ごとの速度で進む距離を3600回足し合わせる」をどんどん細かくして行ったのが「積分」です。

上に書いたように、物理では、「時間とともにどう変わるか」で現象を表現しますが、最終的に知りたいのは「1分後にどうなるか」「１時間後にどうなるか」ということですから、「時間で微分したもの」で表現されたものを、与えられた条件下で「所定の時間だけ積分する」ことで答えを求めます。

No.3 回答者： tekcycle 回答日時： 2016/02/15 08:36

そりゃ本当に教科書参考書を見た方が良い。

話は極限からになると思うんで、極限から勉強することです。
微分は、グラフの傾きです。
A地点からB地点まで、時間と距離とでグラフが描けるでしょう。
そのグラフの、ある地点の傾きです。
ｔ時とｔ＋Δｔ時の間の傾きを出す。
{ｆ(ｔ＋Δｔ)－ｆ(ｔ)}／Δｔ
Δｔが大きければ、二点間の傾き、となりますが、Δｔをどんどん小さくしていって、その点の傾きを求める。
速度をｖ(一定)とすると、
ｆ(ｔ)＝ｖｔ
であれば、
{ｖ(ｔ＋Δｔ)－ｖ(ｔ)}／Δｔ
＝ｖ
と、速度が出てきます。
ところが、ｖ＝ａｔ^2(ａは加速度)の場合、速度の変化は、
{ａ(ｔ＋Δｔ)^2－ａ(ｔ)^2}／Δｔ
＝ａ(ｔ^2＋２ｔΔｔ＋Δｔ^2－ｔ^2)／Δｔ
＝ａ(２ｔΔｔ＋Δｔ^2)／Δｔ
＝ａ(２ｔ＋Δｔ)
ここで
lim[Δｔ→０]ａ(２ｔ＋Δｔ)
＝２ａｔ
となります。
ｙ＝ｘ^2を微分するとｙ'＝２ｘになる、というのはこういうことです。
ｆ(ｔ)の関数が三角関数でも指数対数でも、こんな感じで答えが出るんでしょう。きっと。
ググるなり参考書を読むなりすれば、代表的な物は理解できるのでしょう。

位置の変化の割合が速度ですから、変化の割合を見るために、上記のように微分するのです。
速度の変化の割合が加速度ですから～以下同文。
それを見たいからそうしているのです。

で、こういう話で良いの？
解らないときは、何が解らないのかも判らないかもしれませんから、もっとこんな感じ、なんてのを書いてみると良いでしょう。
なお、上記が正しいかどうかは保証しません。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/02/15 07:58

微分は「グラフの接線の傾き」です。

時間に対する変位を表すグラフがあるとすると
グラフのある点に接する接線のの傾きが速度ですよね?

微分とは元々この事を表わすために、ニュートンによって
作られました。

グラフ上のある点Pに、グラフに沿って動く点QをPに近づけて
ゆくと、PQを結ぶ直線は、ある直線に近づいて行きます。
このある直線が点Pの接線で、接線の傾きが微分です。

これは比喩でもなんでもなく、微分の定義そのものです。

No.1 回答者： tekcycle 回答日時： 2016/02/15 02:43

ちゃんと高二の数学辺りからやり直した方が良いと思いますが。

微分とは、変化の大きさ、かな。
車がA地点からB地点に移動する、場所が変化するんですが、その時間あたりの変化の大きさが、速度。
A地点からB地点まで加速する、速度が変化する、その時間あたりの変化の大きさが、加速度。
A地点での速度に、A地点からB地点までの加速度の積み重ねを加えてやると、B地点での速度になる。これが積分。
加速度のグラフの面積になります。
A地点からB地点までの速度を積み重ねてやると、AB間の距離になります。
速度のグラフの面積になります。
数列でΣなんて習ったのは覚えているでしょうか。あれと似ています。
グラフのｘ1～ｘ1＋Δｘの幅の短冊を考えます。
短冊の面積は、底辺がΔｘ、高さがｆ(ｘ1)と高さがｆ(ｘ1＋Δｘ)の台形でしょう。
この台形の面積を求め、同様にΔｘの幅毎に面積を求めていって、それらを積み重ねてやると、面積が出せるはずです。
Δｘの幅が大きければ、ぐらふよりカクカクした図形の面積を求めることになりますが、Δｘを極限まで小さくしてやれば、グラフと同じになるでしょう。
そうしたものが、積分です。
∫ｆ(ｘ)ｄｘ
なんて書きますが、∫はΣの細かく滑らかな物だと考えてください。
高さｆ(ｘ)で幅ｄｘの短冊の面積はｆ(ｘ)ｄｘでしょう。
それを∫して積み重ねてやると、∫ｆ(ｘ)ｄｘ、というわけです。
Σ[n=k～ｌ]ｆ(ｘｎ)・Δｘ
を細かくしたような話です。

細かいところが間違っているかも知れませんが、基本的な概念はこんな所でしょう。
まぁこの程度で相対性理論が理解できる人は、天才級でしょう。

この回答へのお礼

その辺は分かるのですが…やはり飲み込めません。もっとザックリとした質問をするならば
変位→微分→速度
この時、微分の中身というか、微分の時に何が行われているのかを完璧に理解したいです…(最初からこういう質問の仕方が良かったみたいです、すいません)

ですね。もっと難しくなるとおもうのでひとつひとつ丁寧にやっていきたいと思います。ありがとうございます！

お礼日時：2016/02/15 04:06