数Aの問題の質問です。 下の二つを教えて下さい。 ①⊿ABCにおいて辺BC、CA、AC上に点

数Aの問題の質問です。
下の二つを教えて下さい。

①⊿ABCにおいて辺BC、CA、AC上に点D、E、FがありAD、BE、CFは一点Gで交わっている。このとき⊿ABG:⊿ACG＝BD:CDであることを示せ。

②⊿ABCの重心をGとし、Gを通りBCに平行な直線がAB、ACと交わる点をD、Eとするときチェバの定理の逆を用いて、BE、CDの交点Fは直線AG上にあることを示せ。

よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： Ae610 回答日時： 2016/02/21 16:21

①

⊿ABGと⊿ACGは一辺AGを共有している。
点B及びCからおろした垂線の足がADの延長線上と交わる点を夫々B',C'とすると
⊿ABG：⊿ACG＝BB'：CC'でBB∥CC'
⊿DBB'∽⊿DCC'によりBB'：CC'＝BD：CD
∴⊿ABG：⊿ACG＝BD：CD

②は問題文が正しいのか、ちと疑問・・!?(→なので参考程度に・・!)
(→と言うか、チェバの定理の逆から3点が一直線上にあることが言えるのかどうかが盆暗頭の当方にはよく分からないため、「メネラウスの定理の逆」を用いて証明・・!)

Gが⊿ABCの重心であることから辺AC上の点をM(MはACの中点)として
⊿BEMの3辺BE,BM,EMで考える。
(E,Mは辺AC上の点で、辺EMから見て、頂点Aは辺EMの延長上の点となる。)

今、FGの延長線と辺EMの延長線との交点をA'とすれば点G,Fは辺BM,BE上の点またはそれらの延長上の点となるからA'はEMの延長上の点である。
よってメネラウスの定理によって
EA'/A'M・MG/GB・BF/FE = 1
一方で、EA/AM・MG/GB・BF/FE = 1
∴EA'/A'M = EA/AMとなって、AとA'はEMの延長上の点であるので結局A,A'は一致し、従ってA,G,Fは一直線上にある。

この回答へのお礼

問題文あってました…。
ありがとうございました(_ _*)

お礼日時：2016/02/26 21:43