立方体がある

どのような切り方をしたら、体積が超越数となりますか？

条件:目盛りのない定規とカッターのような直線(平面)を切るものもののみの使用とし、コンパスのようなものは使用できない

質問者からの補足コメント

• 

  確率はほぼ1/2ではないのですか？？

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2016/04/07 18:18

No.5 回答者： nd5xt9 回答日時： 2016/04/10 15:10

「代数的数は自然数と濃度が等しい」という部分ですね。

松坂和夫『集合・位相入門』では演習問題になっているくらいですから、ご自分で考えてみるのもいい練習になるかと思います。
要は「整数係数の多項式の根全体」の濃度を調べればいいわけです。

日本語だとこの辺でしょうか。
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question …

英語が読めるのでしたら、ググればたくさん出てくるのでお好きなのを。
https://www.google.co.jp/search?q=algebraic+inte …

「超越数は実数と濃度が等しい」については、「代数的数は自然数と濃度が等しい」からすぐに出てきます。
https://ask.fm/zomi1202/answers/111041521357

いずれにせよ、理解するのには濃度についての基礎知識を必要とします。
上にも書いた松坂和夫『集合・位相入門』は（きちんとした）入門書としては良いでしょう。
形式ばらず噛み砕いた入門書は他にもたくさんありますが。

No.4 回答者： nd5xt9 回答日時： 2016/04/09 22:21

有理数と無理数が交互に現れる、というのは気持ちはわかりますが、少し不正確な気がします。

正しくは、どんな有理数の間にも無理数はあるし、逆もまた然り、ということが書いてあるのでしょう。
有理数の稠密性を述べているのだと思います。

しかし今考えているのは代数的数と超越数ですから、それは直接的には無関係の話です。

濃度が等しいというのは、1対1対応がつくということです。
代数的数は自然数と濃度が等しく、超越数は実数と濃度が等しいということが知られています。
証明が書いてあるものが今すぐには見つかりませんが、
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0 …
にその事実は書かれています。
また、実数の濃度が自然数の濃度より大きいというのはよく知られた事実です。

この回答へのお礼

なにより論理性を重視する私からすると、なぜそうなるかという部分が重要なので、できれば記述のあるURLなりを教えていただきたいです！

お礼日時：2016/04/10 14:26

No.3 回答者： nd5xt9 回答日時： 2016/04/09 21:58

すみません、気づくのが遅くなりました。

超越数や代数的数は無限にありますが、無限の大きさを比較する方法として「濃度」という考え方があります。
それでいうと、超越数は代数的数よりもずっと多いということが知られています。
詳しく知りたければ、濃度について勉強してみるといいかと思います。
ですから、確率は1となってしまうのです。

ただここが難しいところですが、確率1というのは確実に起こるということではありません。
実際代数的数も少ないながら存在するわけですから、たまたまそれが選ばれてしまうこともあるわけです。
これについては
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%81%BB%E3%81%A8 …
が参考になるかもしれません。

この回答へのお礼

そうですか、しかし、私の持ってる本で、
実数では有理数と無理数が交互の現れるという記述からは、濃度で考えても、超越数となりうるのは約半分だと思ったのですが…

お礼日時：2016/04/09 22:02

No.2 回答者： nd5xt9 回答日時： 2016/04/06 20:16

確実な方法は存在しなさそうな気がしますが、一つのアイデアを。

濃度を考えれば、適当に実数を取ってくればそれが超越数である確率は1ですから、
何も考えずに適当に切ればまず間違いなく超越数になることでしょう。
ただ偶然、代数的数になってしまう可能性は否定できませんが。

この回答へのお礼

修正はありませんか？

お礼日時：2016/04/09 20:39

No.1 回答者： nao4230 回答日時： 2016/04/06 00:08

多面体の体積を超越数にしろ、ということですか？だとしたら、最低でも「コンパス」は必要です。

そうでないと、線分の長さが等しいとか、角度が等しいとかいうこと言えないので超越数どころか２等分すらできません。「超越数」と言っているので角の３等分や円積問題のようなものを想定しているのですか？これらの場合でさえ「定規」と「コンパス」を使うことは許可されています。

この回答へのお礼

コンパス使ったら円を書くだけで超越数ですので、省きました。

お礼日時：2016/04/06 21:37