電気回路の問題

下図の問題が分かりません。

質問者からの補足コメント

• 解答ではPmax=225/248[W]になっているのですが、少数で答えていただいている方は分数に直すと同じになりますか？また違ったらどちらが正しいのでしょうか。

    補足日時：2016/09/12 22:01

No.2 ベストアンサー 回答者： m-jiro 回答日時： 2016/09/11 11:10

小生、抵抗の直並列がある回路ではテブナンの定理を使って簡単な回路に変換しています。

この定理は重宝しています。
10Vの電源は5Ωと3Ωで分圧され3.75Vとなり、これに5Ωと3Ωは並列合成した1.875Ωが直列になります。(以上テブナンの定理。添付図を見てください。)

Rから見た電源側のインピーダンスは2Ωを加算した3.875Ωになります。
Rで消費される電力を最大にするにはRの値を電源側のインピーダンスと同じにすればよろしい。すなわち R＝3.875Ω にすれば消費電力は最大になります。

このときRに流れる電流 I は、
　　I ＝ 3.75V ÷ ( 1.875Ω ＋ 2Ω ＋ 3.875Ω ) ＝ 3.75V ÷ 7.75Ω ＝ 0.484A
Rで消費される電力の最大値 Pmax は、
　　Pmax ＝ RI^2 ＝ 3.875Ω × 0.484A^2 ＝ 0.908W

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/09/11 14:11

テブナンの定理から、Rから左は、電圧=10×3÷8=30/8 V

直列抵抗=5・3/(5+3) + 2=15/8 + 2=31/8 Ω
の電源に変換出来ます。

なのでR=31/8 Ωとして後は計算するだけです。定石です。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2016/09/11 14:04

#2さんのように、「テブナンの定理」を使うのが簡単です。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%83%96 …

この場合、
（１）開放電圧は、10Vの電源を5Ωと3Ωで分圧された Vt = 30/8V = 3.75V
（２）内部抵抗は、5Ωと3Ωの並列と、これに2Ωを直列接続した Rt = 31/8Ω = 3.875Ω
ということになり、

負荷抵抗の電圧
　V = Vt*R / (Rt + R) = 3.75*R / (3.875 + R)
負荷抵抗の電流
　I = Vt / (Rt + R) = 3.75 / (3.875 + R)
となります。

従って、負荷抵抗で消費される電力は（数値計算は最後にするとして、記号で書きます）

　W = V*I
　　= Vt^2 *R / (Rt + R)^2
　　= Vt^2 *R / (R^2 + 2Rt*R + Rt^2)
　　= Vt^2 / (R + 2Rt + Rt^2/R)

ですから、R が変化したときの分母の最小値を求める問題になります。
（W = I^2*R としても、得られる式は同じ）

ここで、R>0 なので、形式的に「√R の二次式」として
　分母 = [ (√R)^2 + 2Rt + (Rt/√R)^2]
　　　 = ( √R - Rt/√R )^2 + 4Rt
と書けて、√R = Rt/√R 、つまり R = Rt のときに分母は最小値 4Rt をとります。

以上より、
　R = Rt = 3.875 (Ω)
のときに、消費電力は最大値
　W = Vt^2 / 4Rt = 3.75^2 / (4 * 3.875) ≒ 0.907 (W)
をとります。

　結果的には「R = Rt」のときに消費電力は最大になるのですが、#2さんのように、それを知っていて「Rで消費される電力を最大にするにはRの値を電源側のインピーダンスと同じにすればよろしい」としてしまうと、問題を解いたことにはならないのではないかと思います。

No.1 回答者： _11 回答日時： 2016/09/11 04:13

Rに供給される電力を求める

左から5Ωに入る電流をIとし　その先の分岐で2Ωに流れる電流をI2とする
Rの抵抗をxとすると

5I+I2(2+x)=5I+3(I-I2)

(x+5)I2=3I

I2=3I/(x+5)・・・①

5I+{(x+2)×3I/(x+5)}=10
5(x+5)I+3(x+2)I=10(x+5)
I(8x+31)=10(x+5)

I =10(x+5)/(8x+31)
①より
I2=30/(8x+31)


負荷Rに供給される電力=900x/(8x+31)^2

=900/{64x+496+(961)/x}
=900/{496+64x+(961)/x}


64x+(961×64)/64xが最小となるとき
負荷Rに供給される電力は最大になる
(相加平均)>=(相乗平均)を用いて

64x+(961×64)/64x>=2√(961×64)=248(最小値)


この時等号が成立すると
64x=(961×64)/64x
x=31/8


900/248×3
=300/248
=75/62


答

R=31/8Ω

最大電力75/62W