ミクロ経済学のことです

利潤最大化問題の
f'（L）＝w/p
（労働の限界生産性＝実質賃金）
が
p×f'（L*）＝w
になることを証明せよって言われたんですけど、全然意味がわからなくて…。
ヒントとしては△L×f'（L）:△Lだけ変化させた時の生産量の変化量ってのを使ったらわかるって言われたんですけど。

No.1 ベストアンサー 回答者： gootarohanako 回答日時： 2016/11/15 09:01

あなたは微分はわかるのですか？

与えられた産業（あるいは企業）では財ｙは労働Lだけを用いて生産されるので、生産関数はｙ=f(L)で与えられている。
この企業の利潤Πは
Π = pｙ - wL = pf(L) - wL
となる。利潤Πを最大化する労働投入量は両辺を微分して０とおくことで得られる。よって
0 = dΠ/dL = pf'(L) - w
よって
pf'(L) = w
あるいは両辺をｐで割って
f'(L) = w/p
となる。数学的には以上が証明だ。
言葉でいうと、利潤を最大化する労働投入量は労働の限界生産物の価値pf'(L)が賃金ｗに等しいところ、あるいは同じことだが、労働の限界生産性f'(L)が実質賃金w/pに等しいところで決定される、ということ。なぜなら、限界生産物の価値（労働１単位増やしたときの生産物の価値）pf'(L)が、その労働に対して支払う賃金ｗより大きいなら、労働を１単位増やせば、利潤は増えるし、逆の場合は逆なので、労働をもう１単位増やしたときの生産物の価値が労働１単位に支払う賃金がちょうど等しいところまで労働を投入するなら、利潤は最大化される、ということだ。
あなたのL*というのは、pf'(L)=wあるいは同じことだがf'(L) = w/pを解く（満たす）Lのこと。

なお、等利潤曲線とは、Π＝一定と置いたとき、そのΠを達成するLとｙの組(L,y)の軌跡を表わしている。
Π＝py - wL
より、
y=(w/p)L + Π/p
つまり、等利潤曲線は傾きがw/pで、縦軸の切片がΠ/pの直線（あなたの図にあるグラフのように）。