高校数学の問題です

(1) AC:BC= 3:1 で合ってますでしょうか？

(2)返CDの長さ

(3)三角形 ABCの面積

(2).(3)がわからないので、教えてください。途中式などもあれば助かります。

ご協力よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： yuji3690 回答日時： 2017/02/05 20:01

とりあえず考える上で、△ACDを固定してみましょう。

するとBおよびEはCを中心とした円周上の点と考えることができます。
この時、BおよびEからACに垂直な線をおろし、その交点をF,Gとします。
AE:EB=AG:AF=3:2です。EG:BF=3:5です。

（BF^2=）AB^2-AF^2（＝25-AF^2）=CB^2-CF^2
（EG^2=）AE^2-AG^2（＝9-AG^2）=CE^2-CG^2
（AC=）AG+GC=AF+FC
AC=√3CD
BC=(1/√3)CD
EC=CD
AG=(3/5)AF

0=CB^2-CF^2-25+AF^2
=1/3CD^2-(AC-AF)^2-25+AF^2
＝1/3CD^2-AC^2+2ACAF-25
=1/3CD^2-3CD^2+2√3CDAF-25
0＝8CD^2-6√3CDAF+75
AF＝(8CD^2+75)/(6√3CD)

0=CE^2-CG^2-9+AG^2
=CD^2-(AC-AG)^2-9+AG^2
=CD^2-AC^2+2ACAG-9
=CD^2-3CD^2+2√3CDAG-9
0＝2CD^2-2√3CDAG+9
＝2CD^2-6√3/5CDAF+9
＝2CD^2-(8CD^2+75)/5+9
＝2/5CD^2-6
CD^2＝15

CD>0より
CD＝√15　…(2)


CからABに垂線をおろし、交点をHとします。
（CH^2＝）BC^2-BH^2＝AC^2-AH^2
AH+BH=5
BC=(1/√3)CD＝√5
AC=√3CD＝3√5

5-BH^2=15-AH^2
5-(5-AH)＾２＝15-AH^2
5-25+10AH-AH^2-15+AH^2=0
10AH=35
AH=7/2

CH^2=15-49/4＝11/4
CH>0より
CH＝√11/2　…(3)

No.2 回答者： springside 回答日時： 2017/02/05 20:40

(2)

こういうふうにも考えられます。

CD=xとおく。
△BCDを考えて、BD=(2√3/3)x　(30°、60°、90°の三角形を考えてください）　※
△CDEを考えて、DE=√2x　(45°、45°、90°の三角形を考えてください）　※
△ACDを考えて、AD=2x　(30°、60°、90°の三角形を考えてください）　※

ここからは、△ABDを考えます。
∠BED=θとおいて、△BEDに余弦定理を用いて、cosθ= (ED^2+EB^2-DB^2)/(2 ED EB)　①
∠DEA= 180°-θなので、△ADEに余弦定理を用いて、cos(180°-θ) = (ED^2+AE^2-AD^2)/(2 ED AE)　②
（AE=3、EB=2も使います）

で、①と②の各項(辺の長さ)に※を使ってxの式を代入します。
そして、cos(180°-θ) = -cosθなので、② = -①になることを用いて、xの方程式を作って解くと、
x=√15になります。

このように、余弦定理を使って2つの式を作り、かつ、cos(180°-θ) = -cosθを使ってその2つの式を
結びつけるやり方は覚えておいて損はないです。