(2x^2－1/2x)^6の展開式でx^3の係数と定数項を求めよ。このやり方を教えて下さい。

(2x^2－1/2x)^6の展開式でx^3の係数と定数項を求めよ。このやり方を教えて下さい。

No.5 回答者： sc348253 回答日時： 2017/06/05 20:44

二項定理より、一般項は、

(a+b)^n では、n C r ・ a^(nーr)・b^r
a=(2x)^2 ,b=ー(2x)-1
を代入すると、
x^3の項は、aが、2・(3)=6次 ,bが(ー1)・(3)=ー3次のときで、n＝r=3 で、
6C3・2^3・(ー1)^3・2^(ー1)^3=ー20

定数項は、aが、2・(2)=4次 ,bが、(ー1)・(4)=ー4次のときで、
6C4・2^2・(ー)^4・2^(ー4)=15・4/16=15/4

No.4 回答者： しゃけ。 回答日時： 2017/06/02 00:12

あ、間違えた。

定数項は(2x^2)を2回、(-1/2x)を4回選ぶ組み合わせで作れるから、(2x^2)^2*(-1/2x)^4*6C2=15/4 か

No.3 回答者： horahukisann2017 回答日時： 2017/06/01 23:26

(2x^2－1/2x)^6 は、(2x^2－1/2/x)^6 ＝ (2x^2－1/(2x))^6 でよいですか？

それでよければ、

(2x^2)^6 - 6・(2x^2)^5・1/(2x)^1 + 15・(2x^2)^4・1/(2x)^2 - 20・(2x^2)^3・1/(2x)^3 + 15・(2x^2)^2・1/(2x)^4 - 6・(2x^2)^1・1/(2x)^5 + 1/(2x)^6

を計算して、x^3の係数と定数項がどうなるかをみます。

x^3の係数：-20
定数項：15/4

で正しいですか？

No.2 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2017/06/01 23:26

(a+b)^n の展開式における一般項は

nＣra^(n-r)b^r

なので、

(2x^2-1/(2x))^6 の展開式における一般項は

6Ｃr(2x^2)^(6-r){-(1/(2x))}^r
=6Ｃr(-1)^r2^(6-2r)x^(12-3r)　･････ ①

これが　x^3　の項となるのは

12-3r=3
つまり
-3r=-9
r=3 のとき

したがって、 x^3 の係数は
6Ｃ3(-1)^32(6-6)
=-20


定数項　となるのは

12-3r=0　のとき

以下、ｒ の値を求めて①に代入すればよい

No.1 回答者： しゃけ。 回答日時： 2017/06/01 23:12

もう少し簡単なケースで(2x^2-1/2x)^2を展開すると、(2x^2)*(2x^2)+(2x^2)*(-1/2x)+(-1/2x)*(2x^2)+(-1/2x)*(-1/2x)

と4つの項が出てくる。1つ1つの項を見てくと、(2x^2)と(-1/2x)を2回選んだ全ての組み合わせになっている。

同様に考えると6乗の場合には、それぞれから6回選んだ全ての組み合わせに展開される。

じゃあx^3が出てくる組み合わせはというと、(2x^2)を3回、(-1/2x)を3回選ぶ組み合わせしかない。つまり、(2x^2)^3*(-1/2x)^3*6C3=-20x^3

定数項は、どう6回組み合わせても出しようがないから0

伝わるかなー