量子力学の確率の問題【井戸型ポテンシャル】

画像のように、無限に深い1次元井戸型ポテンシャルの真ん中に、Lより十分幅の狭い無限に高いポテンシャル障壁があった場合、井戸の左半分の領域(幅L)に粒子(質量m)を閉じ込めたら基底状態の波動関数は
√(2/L) sin(πx/L)
になると思います。基底エネルギーは多分
π²ℏ²/(2mL²)
です。多分。。
ここで真ん中のポテンシャル障壁を突然取り去って粒子が幅2Lの井戸全体を動けるようにしたら、粒子が基底状態にある確率はどうなりますか。解説よろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： eatern27 回答日時： 2017/08/06 23:21

>|<1|1>|²=1/2

>|<1|(-|1>)|²=1/2
>|<1|i|1>|²=1/2
>|<1|ψ>|²=|c₁<1|1>|²=|c₁|²/Σ |c_n|²
>ですよね。
３つ目以外は、確率は最右辺の値になりますが(3つ目は|2>の係数を2にしてますからね)、
例えば<1|1>=1と規格化している(ノルムが1)事を想定していますから、|<1|1>|^2=1/2という式自体は正しくないですよ。
要は状態｜ψ>を用意して状態|1>に見出す確率が|<1|ψ>|^2/<ψ|ψ>なんですよ。
多くの場合、分母の計算を省略できるように<ψ|ψ>=1となるように規格化するので、単に|<1|ψ>|^2を計算すればよい事にはなりますが、そういう規格化をしていないのなら分母もきちんと計算する必要があるというだけの話です。

>|ψ>は障壁を取り除く前の状態であって、観測するのは障壁を取り除いた後の状態ではないのでしょうか？
この点、気づかなくても問題を解く上では支障がないし、その辺の事情を書くと話を複雑にしてしまうので、何も書かなかったのですが、こういう点に気づくのは、よく考えてる証拠なんだろうな、と思います^^

より現実的な場合を考えて
t<0では中央に障壁があるポテンシャル
0<t<Δtで中央の障壁が変化し、
t>Δtでは中央の障壁がないポテンシャル
になっているのだとしましょう。時刻tでの状態を|ψ(t)>と表記することにします(ノルムが1になるように規格化している事にしておきます)。

問題では、t=-0での波動関数が√(2/L) sin(πx/L)であるときに、t=Δtにおいて|0>という状態に見出す確率が聞かれていて、|<0|ψ(Δt)>|^2の値を計算すればよいのだ、という事はすでに説明した通りでこの点は理解されているのだと思います。

#2のお礼にお書きになっているのは、|ψ(-0)>と|ψ(Δt)>は等しくないはずだ、という事だと思います。
これについてはその通りで、一般論としては確かに等しくありません。
|ψ(Δt)>がどうなるかは、0<t<Δtでシュレーディンガー方程式を解くことで決まるわけですが、当然解いた結果はΔtの値や0<t<Δtでの障壁の変化の仕方(例えば障壁の高さを∞から0にする、障壁の位置をLから2Lに移動するなど）によって変わりえます。
※例えば十分にゆっくりと障壁を取り除いた場合、|ψ(Δt)>は位相因子×|0>の形になっているはずです（断熱定理)

問題では「突然取り去って」とありますので、要するにΔt=0の場合（気持ち悪ければΔt→0の極限と思ってください)を考える事になります。
シュレーディンガー方程式を考えると、もしも|ψ(t)>がt=0で不連続に変化するのなら、エネルギーの期待値も発散している事になりますので、シュレーディンガー方程式にしたがって時間発展する限り（物理量の観測のようなことをしない限り)、状態ベクトルは連続に変化することになります。
したがって、瞬時に障壁がなくなるのであれば、障壁がなくなる前後の状態は同じという事になります。

この回答へのお礼

色々とつまらないミスをしてしまってすみません(汗)
4つの問題とも理解できました。

連続性にまで触れて説明していただいたことでよく理解できました。
丁寧にわかりやすく教えていただいて、ありがとうございました。

お礼日時：2017/08/07 00:26

No.2 回答者： eatern27 回答日時： 2017/08/06 01:31

>|<1|1>|²=1

>|<1|(-|1>)|²=1
>|<1|i|1>|²=-1
>|<1|ψ>|²=|c₁<1|1>|²=|c₁|²
確率が１になるという事は必ず状態|１>に見出すという事になってしまいます。
また３つ目はどう計算したのか分かりませんが、確率が負になる事はあり得ません。

とはいえ、基本的な考え方はそれでよくて、
#1に書いた状態ベクトルを規格化して同様の計算をすれば正しい答えが出るはずです。(３つ目が単なる誤植でないのなら話は別ですが）

0<x<Lで波動関数が
>√(2/L) sin(πx/L)
で与えられる状態ベクトル|ψ>を用意し、
中央の障壁を取り除いた後の第n励起状態を|n>としたとき(|0>を基底状態としておきます)、
ご質問の問題では|ψ>を観測して状態|0>に見出す確率が聞かれている訳です。
#1で聞いたことの答えがわかっているなら何を計算すればよいかわかるでしょう。

この回答へのお礼

すみません、凡ミスでした。
|<1|1>|²=1/2
|<1|(-|1>)|²=1/2
|<1|i|1>|²=1/2
|<1|ψ>|²=|c₁<1|1>|²=|c₁|²/Σ |c_n|²
ですよね。

つまり問題の計算は
|<0|ψ>|²を計算すれば良いのでしょうか？
しかし、基底状態にある確率を求めよということなのでブラが<0|になるのはわかるのですが、観測するものが|ψ>であるというのがよくわかりません。|ψ>は障壁を取り除く前の状態であって、観測するのは障壁を取り除いた後の状態ではないのでしょうか？

お礼日時：2017/08/06 09:07

No.1 回答者： eatern27 回答日時： 2017/08/03 02:09

例えば|1>,|2>のノルムが1で直交しているとしたとき、

|1>+|2>
-|1>+i|2>
i|1>+2|2>
の各状態について状態|1>にある確率は求める事ができますか？

できるのなら|1>,|2>,|3>,・・・と増やして
|ψ>=Σ c_n |n>
という状態を考えたとき、状態|1>にある確率はいくらでしょう？

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。それぞれ
|<1|1>|²=1
|<1|(-|1>)|²=1
|<1|i|1>|²=-1
|<1|ψ>|²=|c₁<1|1>|²=|c₁|²
でしょうか？

お礼日時：2017/08/04 01:04