整数の問題です。 知恵袋の方で全く同じ疑問内容の質問があったのですが、そこでの解答がわからなかったの

整数の問題です。

知恵袋の方で全く同じ疑問内容の質問があったのですが、そこでの解答がわからなかったのでこちらで改めてほぼ転載ではありますが質問させていただければと思います。

問題は、
1次不定方程式9x+11y=nがちょうど10個の
負でない整数解をもつような自然数nの最小値を求めよ。

というもので、私は
-5n/11≦k≦-4n/9となる整数kが10個存在するようにnを定めようとしました。
(ここまでは解答とも合っています。)
この後、
-4n/9-(-5n/11)=n/99
よって9≦n/99＜11(10)
としましたが、解答には
9≦n<10とありました。
疑問に思ったのは、10≦n<11を考慮しなくてもいいのかという事です。

整数kが10個存在する必要条件であれば10≦n<11も入ると思うのですが、違うのでしょうか

よろしくお願い致します。

No.2 回答者： syotao 回答日時： 2017/11/08 15:39

つまり、9＝n/99　となるようなｎすなわちｎ＝891の時を考えれば

もとの不定方程式の負でないｘ、ｙの解の組がたしかにちょうど10個になります。
そのことがわかれば
問題はｎの最小値を求めたいので、ｎが891より大きくなる
10＝n/99　となるｎについては考える必要がないということです。

この回答へのお礼

ご回答下さった皆さま、
誠にありがとうございます。

解答において範囲の端点が「ある整数の点」が前提であるかのように考えているのが、府に落ちなかったのですが

問題の趣旨からすれば、「整数解がちょうど10個になる為のnの最小値」考える上で、上記のように考えればよい、
範囲の幅が仮に9以上11未満であっても、範囲の取り方次第で整数解が10個になる場合はあるが、考える必要がない、
という事だと理解しました。

ありがとうございました。

お礼日時：2017/11/11 16:53

No.1 回答者： syotao 回答日時： 2017/11/07 18:20

数直線上で連続した10個の整数を表わす点の並びを考えると

その左端の点から右端の点までの距離は9しかありませんよね。
だから　9≦n/99＜10　でよいのでしょう。