教科書の微分積分の扱いが納得いかなくてネット等で調べてみたところそもそも定積分が区分求積で先に定義さ

教科書の微分積分の扱いが納得いかなくてネット等で調べてみたところそもそも定積分が区分求積で先に定義されてその後にニュートンが微分の逆演算が積分であることを発見したと分かりました

そこで質問なのですが定積分、不定積分、微分は別々のものとして見た場合それらはどうやって繋がっているのでしょうか、また微分積分学の基本公式は何と何を繋いでいるのでしょうか
不定積分とはどういうものを言うのでしょうか
質問ばかりですみません

No.6 ベストアンサー 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2018/09/02 15:38

ANo.1/3です。

>なるほど、それでは発見までされたとすると
>現代の科学ではニュートン、ライプニッツの功績により微分積分学の基本定理によって微分と不定積分が繋げられているわけですね
>それでは不定積分(逆微分)と定積分はどのようにして繋がっているのでしょうか

不定積分は、先に書いた逆微分による定義の他に、3種類の定義（合計4種類）を持っています。

その中の一つである、「変数が一つの関数f(x)において、定義域内の任意の閉区間[a,b]上の定積分が、F(b)-F(a) に一致する関数F(x)を、関数f(x)の不定積分」と定義するものがあります。
これが不定積分と定積分を結びつけています。

高校で学習する微分・積分はほんの入口にすぎません。
短い期間で微分・積分を学習させるために、あえて深く踏み込んで説明していないところがあります。
不満に思うかもしれませんが、微分・積分を詳細にやりだすと大半の高校生はついていけなくなります。
逆に言うと微分・積分は、それだけ専門知識が必要な分野だと考えて下さい。

No.7 回答者： doc_somday 回答日時： 2018/09/05 01:43

＞不定積分

不定積分とは純粋に微分の逆演算です。だから積分定数Cが付きます。

No.5 回答者： springside 回答日時： 2018/09/02 08:05

その辺のことは、高校の教科書ではさらっと（論理というよりは感覚的に）書いてあるので、そういうものだと納得して問題演習をこなすしかありません。

まずは大学入試に合格することが先決です。
大学に入れば、いやでもその辺のことを徹底的に勉強することになります（1年生でやる解析学）。

ただ、今の時点でしっかり勉強したいということであれば、この掲示板で書けるような簡単な話ではないので、例えば以下の
ような教科書をよく読んで勉強して下さい。

　「数学者的思考トレーニング　解析編」　上野健爾著　岩波書店
　「解析入門Ⅰ」　杉浦光夫著　東京大学出版会

注：「歴史的に、誰が、どういう順序で、どういう発想で見出したか」を考えることに意味はありません。
要するに、後から付けた理論でもいいから、微分と積分（と定積分）の関係が数学的に正しい論理で示されればいいだけのことなので。

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/09/02 01:52

不定積分と定積分を結びつけてるのが

微分積分学の基本定理
なんだけどねぇ....

この回答へのお礼

！？！？
微分と定積分じゃないんですか？
原子関数の差が定積分になるというのもきほんていりですか？

お礼日時：2018/09/02 08:37

No.3 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2018/09/01 23:55

ANo.1です。

>それでは歴史の順番にそって言った場合いつ不定積分が出てくるのでしょうか？
>また、そこからどのように不定積分と定積分が結びつくのでしょうか

不定積分は逆微分（微分の逆演算）から生じた言葉（概念）です。
逆微分は積分と同義であるため、質問にある「定積分、不定積分、微分は別々のものとして見た場合」という前提条件が崩れます。

自分の回答の冒頭に書いた通り、微分と積分に繋がりが今日まで発見されていないと仮定していますので、不定積分という言葉がでてくることはなく、不定積分と定積分が結びつくこともありません。

この回答へのお礼

なるほど、それでは発見までされたとすると
現代の科学ではニュートン、ライプニッツの功績により微分積分学の基本定理によって微分と不定積分が繋げられているわけですね
それでは不定積分(逆微分)と定積分はどのようにして繋がっているのでしょうか

お礼日時：2018/09/02 00:22

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/09/01 22:52

歴史的にいえば, 微分の逆演算として不定積分が存在します. また, それとは別の計算として定積分 = 求積法があります.

この, 本来別物であった不定積分と定積分の関連を示したのが微分積分学の基本定理です.

この回答へのお礼

不定積分と定積分はどのように繋がっているのでしょうか？

お礼日時：2018/09/01 23:24

No.1 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2018/09/01 21:49

まず、微分と積分が互いに逆の操作・演算の関係であることを示したのは、質問に書かれているニュートンおよびライプニッツです。

その繋がりが今日まで発見されていないと仮定しての質問と捉えます。

>定積分、不定積分、微分は別々のものとして見た場合それらはどうやって繋がっているのでしょうか

定積分と微分はそれぞれ独立した計算法となり、繋がりはなくなります。
不定積分は定義としてすら出てこなくなります。

>微分積分学の基本公式は何と何を繋いでいるのでしょうか

微分積分学の基本公式は、微分と積分に繋がりがあることを前提とした公式なので、基本公式という言葉自体が存在しなくなります。
微分学と積分学のそれぞれで、独立した計算式として残る可能性はあります。

>不定積分とはどういうものを言うのでしょうか

繋がりがないので、不定積分という定義自体が存在しなくなります。

この回答へのお礼

それでは歴史の順番にそって言った場合いつ不定積分が出てくるのでしょうか？
また、そこからどのように不定積分と定積分が結びつくのでしょうか

お礼日時：2018/09/01 22:46