tan(θ+dθ)=dθ+ tanθ/1- tanθ×dθ としてから、dθ/1- tanθ×dθと

tan(θ+dθ)=dθ+ tanθ/1- tanθ×dθ
としてから、dθ/1- tanθ×dθとtanθ/1- tanθ×dθに分けるのではなく、
画像の図からdθ/1- tanθ×dθとtanθ/1- tanθ×dθを導けますでしょうか？

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/09/24 09:43

相変わらず無限ループしてますね。

tanの加法定理の証明を曲率の図の中に
見いだして欲しい、という無理難題。

しかも質問の意図は沈黙のまま。

幾何学的な簡単な証明があるsinとcosの加法定理から
代数的に瞬時に導けるのに、tanにも幾何学的
証明を求める意図がわからんです。

このままだと永久ループしますよ。

この回答へのお礼

なぜ無限ループするのですか？

お礼日時：2018/09/24 13:42

No.3 回答者： OTZ-STO 回答日時： 2018/09/22 03:04

あ、ごめん。

質問内容勘違いしてました。
わかりませんね。

No.2 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/09/22 02:23

(1) この図はtanθと関係ないので、

dθ/1- tanθ×dθとtanθ/1- tanθ×dθという式を導くことはできません。
(2)まず、この式は括弧が足りないので、括弧を加えて
dθ/(1－tanθ×dθ)＿①とtanθ/(1－tanθ×dθ)＿②
と書かないと、内容が曖昧です。通常の計算順では括弧を付け替えて
dθ/1－tanθ×dθ= (dθ/1)－(tanθ×dθ)となり、まったく違う計算になってしまう。
(3)また、dθ/1- tanθ×dθとtanθ/1- tanθ×dθという式は、このままでは、微分法の計算には、通常出て来ない、あまり意味のない式です。というのは微分法では、dθは無限小の量と考えるので、dθ→0の近似で書くと
dθ/(1－tanθ×dθ)→dθとtanθ/(1－tanθ×dθ)→tanθ
となり、微分法の計算になりません。
(4)微分法の計算をするには、図とは関係なく、tanθの加法定理で
tan(θ+dθ)=( tanθ+tan(dθ))/(1－tanθ×tan(dθ))＿③
とします。dθ→0の近似ではtan(dθ)＝dθなので、式③は④となる。
tan(θ+dθ)=( tanθ+ dθ)/(1－ tanθdθ)＿④
この式の両辺からtanθを引くと微分の計算式になる。
tan(θ+dθ)－tanθ=(tanθ+ dθ)/(1－tanθdθ)－tanθ＿⑤
⑤の右辺の分数を通分して計算すると
=((tanθ+ dθ)－(tanθ－tan²θdθ))/(1－tanθdθ)
=(( dθ+tan²θdθ))/(1－tanθdθ)
=(1+tan²θ)dθ/(1－tanθdθ)
ここでdθ→0とすると、分母では、1とtanθdθを比べるとtanθdθは無限小で、消える。
また1+tan²θ=sec²θの公式を使うと、式⑤は⑥となる。⑥をdθで割ると⑦になる。
d tanθ=sec²θdθ＿⑥
d tanθ/dθ=sec²θ＿⑦
また⑤⑥から、⑧が出る、⑥⑦⑧は微分法の正しい式である。
tan(θ+dθ)=tanθ+ d tanθ=tanθ+ sec²θdθ＿⑧
これらの計算は図とは関係ない。では、この図は何の意味があるのか。
(5)この図は曲率半径を計算するための図です。そして、大事な曲線がぬけているので、それを書き込んだ図を下図に示します。書き込んだのは太線で示したy=f(x)の曲線です。
曲線y=f(x)は、tを媒介変数とする媒介変数表示P(x,y)＝P(x(t),y(t))で定義されていると考えることができる。またxをtとして使うこともできる。その時はP(x,y)＝P(x,f(x))
この図で、点線で示すMを中心とする半径Rの円を曲率円といいます。曲線y=f(x)は点Pから点Qの間では、この曲率円に沿った曲がり方をしています。
(6)このように、点Pにおいて、曲率円の曲がり方と曲線y=f(x)の曲がり方が等しい時、Rを曲線y=f(x)の点Pにおける曲率半径という。そして1/Rを、曲線y=f(x)の点Pにおける曲率という。PQの間の距離をΔsとすると、RΔθ=Δsである。ここでΔθは弧度法(ラジアン)を使う。弧度法では、半径１の円の弧の長さをΔθとするから半径Rの円ではR倍になり、RΔθ=Δs＿⑨となる。曲率は1/R=Δθ/Δs＿⑩となる。
Δs→0の極限ではlimΔθ/Δs=dθ/ds＿⑪が、曲線y=f(x)の点Pにおける曲率である。
曲線y=f(x)の上をdsだけ進む間に向きがdθだけ曲がるから曲率という。もし一定の曲率を保ったまま進めば、半径Rの円になる。次に、y=f(x)の曲率の計算式を求める。
(7)曲線y=f(x)の傾きは点Pではtanθ= f '(x)＿⑫であり、
点Qではtan (θ+dθ)= f '(x+dx)＿⑬
である。⑫と⑬の左辺の差はtan (θ+dθ)－tanθ=dtanθ=(tanθ)'dθ=sec²θdθ
=(1+tan²θ) dθ=(1+ (f '(x))²) dθ
また、⑫と⑬の右辺の差はf '(x+dx)－f '(x)=d f '(x)=f ''(x)dxだから、
(1+ (f '(x))²) dθ= f ''(x)dx，dθ= f ''(x) dx /(1+ (f '(x))²)＿⑭となる。
次に、PQの間のx座標の差はΔx、PQの間のy座標の差はΔy、PQ間の距離Δsは、ピタゴラスの定理でΔs²=Δx²+Δy²からΔs=√(Δx²+Δy²)＿⑮となる。これから
Δs/Δx=√(1+(Δy/Δx)²)となる。Δx→0の極限では、
ds/dx=√(1+(dy/dx)²)=√(1+( f '(t))²)、ds=√(1+(f '(x))²)dx＿⑯
⑭を⑯で割ると曲率が得られる。

No.1 回答者： OTZ-STO 回答日時： 2018/09/21 15:23

写真見えるかな…

△ADEで三平方の定理を使えばできます。

この回答へのお礼

わざわざ画像どうもありがとうございます。
あの、理解が悪くてすいませを。載せていただいた画像の図からdθ/1- tanθ×dθとtanθ/1- tanθ×dθをどうやって導くのでしょうか？
どうかよろしくお願いします。

お礼日時：2018/09/21 18:06