斎藤正彦 線形代数入門についての質問です 行列A=(a b c d)の行列式は平行四辺形の符号付き面

斎藤正彦 線形代数入門についての質問です
行列A=(a b
c d)の行列式は平行四辺形の符号付き面積に等しい
a=(a b) b =(c d)で、aからbへのせいの向きに測った角がπ以下なら正になる 実際θ<πなら、ベクトルの組e1,e2からa,bまで連続的に、線型独立生を失わずに移れる。 det(e1 e2)=1だからdet(a b)は負になれない

とあったのですが、実際〜負になれない。のところの言ってる意味がよくわからないです。特にベクトルの組が連続的に移れる、det(e1,e2)=1だからというところがわからないです 教えて頂ければと思います

No.1 回答者： uyama33 回答日時： 2018/09/28 00:06

横ベクトルの形で書きますが、全て立てベクトルにして考えてください。

e1＝(1,0), e2=(0,1) であり、det(e1,e2)=1
となる。
行列式は行列の成分を使った多項式なので、行列の成分が少し値を変えると行列式の値も少し変る。
行列式の値は、行列の各成分に関して連続である。
ある点で正の値、ある点で負の値をとる連続関数は途中で零となる。

感覚としては、連続関数のグラフで、
ある点でｙ座標が正、別の点でｙ座標が負となるグラフは途中でｘ軸との交点を持つ。
その所でｙ座標は０になる。

行列式の値が零となるならば、行列を構成する縦ベクトルの全体は線形独立ではありえない。
e1の成分を少しずつ変化させて(a b)にする。e2の成分を少しずつ変えて(c d)にする。
このとき、ベクトルがゼロになったり、2つのベクトルが直線状にならないようにしながら変形できる。

これば、独立性を保ったまま変形するのだから、行列式の値は０にはならない。

もし、移ったあとで、行列式の価が負になるならば、
連続的に値が変化するのだから途中で０になっているはず。
途中では2つのベクトルは常に独立なので、行列式の値が０になることはない。
よって、行列式の値が負になることはない。

厳密に書くのはかなり面倒なのでお許しください。