以前、線形代数からフーリエ級数展開を導く上で 式v=(v, e1)e1+(v, e2)e2+…+(v

以前、線形代数からフーリエ級数展開を導く上で
式v=(v, e1)e1+(v, e2)e2+…+(v,en)en+…を導いたのですが、どうやって式v=(v, e1)e1+(v, e2)e2+…+(v,en)en+…を導いたのでしょうか？
過程の計算を教えて下さい。

No.2 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/06/30 05:54

e1, e2, ... が正規直交基底であるなら, それらが張る空間 V に属する v ∈ V は e1, ... の線型結合で書ける. そしてそれぞれの係数は内積を計算すればわかる.

って話?

この回答へのお礼

そうなのかも知れませんが、単純にどうやって式v=(v, e1)e1+(v, e2)e2+…+(v,en)en+…を導いたのかがわかりません。

お礼日時：2022/06/30 05:59

No.6 回答者： stomachman 回答日時： 2022/07/04 10:03

> 上の「」内のどの部分からとのように①の式が導かれたのでしょうか？

代入ということがわからんですかね？ それは大変。

No.5 回答者： stomachman 回答日時： 2022/07/02 10:47

v は線形空間Vの要素ならどれでも、ということであり、 {e1, e2, ... }はVの正規直交基底である、という前提の話なのでしょう。

　なので、ご質問の「過程の計算」をやるためには、
　　● + : V×V → V という二項演算と零元0の定義。
　　● スカラー集合Aの定義とスカラーの零元o定義、および
　　　スカラー積 ・: A×V → V の定義と単位元Iの定義。
　　● 内積 ( , ) : V×V → A という写像の定義。
およびそれらの性質についての一連の知見が必要不可欠です。

　「…を導いたのですが」とおっしゃる以上は、これらを一度は自分で勉強したんでしょうよ。そんなもん、ここでまたイチから説明してるわけにも行かんでしょう。だから、No.4さんは「どこで何に困っている」？と尋ねているんですよ。

　ところが、何に困っているかも分からないらしい。しょうがないので、ま、おおざっぱに格好だけやってみせると：
{e1, e2, ... }はVの基底なので任意のv∈V について
　　v=α1e1+α2e2+…+αnen+…
となるスカラーの列 {α1, α2, …} が存在する。そしてどのnについても
　　(v,en) =(α1e1,en)+(α2e2,en)+…+(αnen,en)+…
　　=α1(e1,en)+α2(e2,en)+…+αn(en,en)+…
　　=α1o+α2o+…+αnI+…
　　= αn
だから、
　　v=(v,e1)e1+(v,e2)e2+…+(v,en)en+…
というわけで、この過程の途中の式を導くには上記の知見を使うんです。で、「どこで何に困っている」か（どの知見が理解から抜けているか）が分かったら、それを明言してNo.4さんに教えてもらいなされ。

この回答へのお礼

「{e1, e2, ... }はVの基底なので任意のv∈V について
v=α1e1+α2e2+…+αnen+…
となるスカラーの列 {α1, α2, …} が存在する。
そしてどのnについても
(v,en) =(α1e1,en)+(α2e2,en)+…+(αnen,en)+…
=α1(e1,en)+α2(e2,en)+…+αn(en,en)+…
=α1o+α2o+…+αnI+…
= αn」
だから、
v=(v,e1)e1+(v,e2)e2+…+(v,en)en+…①と導けると言われたのですが、上の「」内のどの部分からとのように①の式が導かれたのでしょうか？
どうか教えてください。

お礼日時：2022/07/03 21:46

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/07/02 04:27

ん～.... 具体的には

・どのように処理しようと思って
・どこまでできていて
・どこで何に困っている
んでしょうか?

この回答へのお礼

わかりずらくてすいませんでした。

「{e1, e2, ... }はVの基底なので任意のv∈V について
v=α1e1+α2e2+…+αnen+…
となるスカラーの列 {α1, α2, …} が存在する。
そしてどのnについても
(v,en) =(α1e1,en)+(α2e2,en)+…+(αnen,en)+…
=α1(e1,en)+α2(e2,en)+…+αn(en,en)+…
=α1o+α2o+…+αnI+…
= αn」
だから、
v=(v,e1)e1+(v,e2)e2+…+(v,en)en+…①と導けると言われたのですが、上の「」内のどの部分からとのように①の式が導かれたのでしょうか？
どうか教えてください。

お礼日時：2022/07/03 21:46

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/07/01 04:39

#2 に書いた通りなんだが, 自分で手を動かそうという気はないのかな?

この回答へのお礼

考えたり書いたりしていますが、v=(v, e1)e1+(v, e2)e2+…+(v,en)en+…を導くまでの過程の計算がいまいちわからなくて。

お礼日時：2022/07/01 13:06

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/06/29 19:03

その e1 やら e2 やらってどういうもの? どういう条件 (性質) を持つの?

この回答へのお礼

正規直交系{1/√(2π), (1/√π)cosx, (1/√π)sinx, (1/√π)cos2x, (1/√π)sin2x, …, (1/√π)cos nx, (1/√π)sin nx, …}です。

お礼日時：2022/06/29 20:29