数列の問題です。 b1＝1、bn＋1＝2bn＋n＋2の数列｛bn｝について bn＋1－bn＝cn(n

数列の問題です。
b1＝1、bn＋1＝2bn＋n＋2の数列｛bn｝について
bn＋1－bn＝cn(n＝1,2,3…)とすると
cn＋1＝①cn＋②
さらに変形すると
cn＋③＝①(cn＋③)
であるから
cn＝④･⑤^n－1 －⑥
これより
bn＝④･⑤^n－1 －n－⑦

①～⑦に入る数が分かりません。
過程もお願いします。

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/10/24 17:19

b[n＋2]＝2[bn+1]＋(n+1)＋2

b[n+1]=2[bn]+n+2
辺々引いて
b[n＋2]-[bn+1]=2(b[n+1]-[bn])+1
∴c[n+1]=2[cn]+1・・・①②

⇔c[n+1]+1=2[cn]+1+1
⇔c[n+1]+1=2(c[n]+1)・・・③

これはc[n]+1が公比2の等比数列あることを示す。
b1=1
b2=2b1+1+2=2+1+2=5より
c[1]=b2-b1=5-1=4だから
c[n]+1の初項はc[1]+1=4+1=5
∴c[n]+1=5・2^(n-1)
∴c[n]=5・2^(n-1)-1・・・④⑤⑥

b[n+1]=2[bn]+n+2
⇔b[n+1]-b[n]-n-2=[bn]
⇔c[n]-n-2=b[n]
⇔b[n]={5・2^(n-1)-1}-n-2=5・2^(n-1)-n-3…⑦
このようになると思いますが￥＾＾