次の条件で定められる数列｛an｝の極限を求めよ。 という問題です。 解答の過程を書いていただきたいで

次の条件で定められる数列｛an｝の極限を求めよ。
という問題です。
解答の過程を書いていただきたいです。

No.1 回答者： bravehokkaido 回答日時： 2018/11/04 14:03

宿題丸投げしても回答してくれる人がいていいねwww。

ここで、a[n]>0であることを示すが、a[1]=2であること、a[n]>0と仮定したら、a[n]+3>0よりa[n+1]>0となることから帰納的に示せる。よって、

a[n+1]=a[n]/(a[n]+3)<a[n]/3となるので、a[n]≦a[n－1]/3≦a[n－2]/9≦…≦a[1]/3^(n－1)=2/3^(n－1)より、a[n]≦2/3^(n－1)であることが分かります。

よって、0<a[n]<2/3^(n－1)なので、はさみうちの定理よりlim[n→∞]{a[n]}=0

No.2 ベストアンサー 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/11/04 15:01

次の条件で定められる数列{an}の極限を求めよ。

添え字nはa[n]の形で付ける。
　a[1]=2，a[n+1]=a[n]/(a[n]+3)　　(n=1,2,3,･･･)＿＿①

この問題を解くのにコツがあって、本来、a[n]の一般項を求めてからn→∞の極限を求める所を、
極限から先に求める。a[n]の極限をaとして、
漸化式a[n+1]= a[n]/(a[n]+3)＿＿①でa[n+1]→a，a[n]→aとすると、
a= a/(a+3)＿＿②となる。これを解くと、a=－2またはa=0となる。
極限値a=－2とa[n]の差、およびa=0とa[n]の差、の比率をb[n]とする。
b[n]=(a[n]+2)/a[n]=1+2/a[n]＿＿③
③でn=1として、a[1]=2を入れるとb[1]=1+2/a[1]=2，b[1]=2＿＿④
③からa[n]を解くと、b[n]－1=2/a[n]
a[n]=2/(b[n]－1)＿＿⑤
①の漸化式の両辺に⑤を入れると
a[n+1] = a[n]/(a[n]+3)
2/(b[n+1]－1)=(2/(b[n]－1))/(2/(b[n]－1)+3)=2/(2+3(b[n]－1))＿＿⑥
⑥からb[n+1]を解くと
b[n+1]－1=2+3(b[n]－1)
b[n+1]=3b[n]＿＿⑦
⑦は等比数列の漸化式だから、④⑦から
b[n] =2･3^(n－1)＿＿⑧
⑧を⑤に入れると
a[n]=2/(b[n]－1)=2/(2･3^(n－1)－1)＿＿⑨
で、a[n]の一般項が得られた。n→∞とするとa[n]→0＿＿⑩