極限について

定数/0は∞ですか？？

No.2 ベストアンサー 回答者： QoooL 回答日時： 2014/05/16 12:21

基本的に＃１の回答者様のおっしゃる通りです。

まず
定数/0　は「存在しません」。
０で割る計算は「考えてはいけない」（定義できない）という決まりです。

しかし「定数/Ｘ、Ｘ→0　の極限」は考えることができます。

分子の定数をＡとします。場合分けが必要です。

●　Ａが正の数の時
Ａ/Ｘ　の符号は、Ｘが正の数ならＡ/Ｘも正
Ｘが負の数ならＡ/Ｘは　正/負　となり負
ということはわかりますね。

そして、Ｘ（の絶対値）が小さくなればなるほどＡ/Ｘの絶対値は大きくなります。
つまり、正の無限大に近付くこともあれば、負の無限大に近付くこともあります。

Ｘが０より大きい方から０に近付くことを、あえて表したいときは、高校数学の範囲でも
　　Ｘ→0+0
と書きます。これを
　　右の極限
と呼びます。
+ですけど、極限自体はだんだん数字が小さくなっていくことに気を付けてください。
0.1、0.01、0.001、0.0001、・・・0+0

正/正　ですから、
　　lim(Ｘ→0+0)_Ａ/Ｘ =+∞　（Ａ＞0）
です。

その逆が
　　左の極限
です。
　　Ｘ→0-0
と書きます。

正/負　ですから、
　　lim(Ｘ→0-0)_Ａ/Ｘ =-∞　（Ａ＞0）
です。

この場合
　　lim(Ｘ→0+0)_Ａ/Ｘ　と　lim(Ｘ→0-0)_Ａ/Ｘ　が　一致しません。


●　Ａが負の数の時
Ａ/Ｘ　の符号は、Ａが正の数の時と逆になります。
Ｘが正の数ならＡ/Ｘは　負/正　となり負
Ｘが負の数ならＡ/Ｘは　負/負　となり正
ということはわかりますね。

　　右の極限
は
　　lim(Ｘ→0+0)_Ａ/Ｘ =-∞　（Ａ＜0）
です。

　　左の極限
は
　　lim(Ｘ→0-0)_Ａ/Ｘ =+∞　（Ａ＜0）
です。

この場合も
　　lim(Ｘ→0+0)_Ａ/Ｘ　と　lim(Ｘ→0-0)_Ａ/Ｘ　が　一致しません。


●　Ａが０の時
０/Ｘ　はＸの正負に関わらずコンスタントに（常に）０ですが、
０/０　は定義できませんから（０/０=0とも０/０=1とも言われる。）
　　lim(Ｘ→0+0)_０/Ｘ　や　lim(Ｘ→0-0)_０/Ｘ　を考えることにそもそも意味があるのか
私にはわかりません。これについては、どなたか詳しい方、ご説明をお願いします。
少なくとも高校数学の範囲では、
Ａが０の時　を考えなければならない問題は出ないと思うので安心してください。


●　そもそも極限と極限値について
ある関数ｆ（Ｘ）
　　lim(Ｘ→k+0)_ｆ（Ｘ）＝Ｃ1
という値Ｃ1が存在し、
　　lim(Ｘ→k-0)_ｆ（Ｘ）＝Ｃ2
という値Ｃ2も存在し、
　　Ｃ1　と　Ｃ2　が　一致する
とき、
　　ｆ（Ｘ）は　Ｘ＝k　で極限値Ｃ1　を持つ
と言います。（極限「値」です。Ｃ1＝Ｃ2）

また、このとき右の極限と左の極限をまとめて
　　lim(Ｘ→k)_ｆ（Ｘ）＝Ｃ1
という一つの式で表します。


●　結論
定数/0は　∞、-∞、定義できない、の３通りが考えられる
が答えだと思います。

No.3 回答者： QoooL 回答日時： 2014/05/16 12:34

＃２です。

補足します。

「
ある関数ｆ（Ｘ）
　　lim(Ｘ→k+0)_ｆ（Ｘ）＝Ｃ1
という値Ｃ1が存在し、
　　lim(Ｘ→k-0)_ｆ（Ｘ）＝Ｃ2
という値Ｃ2も存在し、
　　Ｃ1　と　Ｃ2　が　一致する
とき、
　　ｆ（Ｘ）は　Ｘ＝k　で極限値Ｃ1　を持つ
と言います。（極限「値」です。Ｃ1＝Ｃ2）

また、このとき右の極限と左の極限をまとめて
　　lim(Ｘ→k)_ｆ（Ｘ）＝Ｃ1
という一つの式で表します。
」

については難しいことを言っているように感じるかも知れませんが、
教科書のどこか（極限の説明の一番最初の方）に「極限値の定義」として書いてあったと思います。

私は教育家ですが数学の専門家ではないので「極限値の定義」が別に存在したらごめんなさい。

例えば　tanθ　などもθ＝π/2　で+∞と-∞の両方に近づきますよね（漸近線）。
このように（例：ｆ（Ｘ）＝tanＸ）Ｘ→ｋ　（例ではｋ＝π/2）のとき、

　「極限が一つに定まらない」
　「そもそもＣ1のような定数にならず、+∞などになる」

というときには、
　　lim(Ｘ→k)_ｆ（Ｘ）＝Ｃ1　なんて定めることは不可能
ということを言っているのです。


ごくまれに、この右からの極限、左からの極限を問う問題もありますので、後は問題を解きながら学校の先生に聞いてみてください。

この回答へのお礼

丁寧でわかりやすかったです！！
回答ありがとうございました(^^)

お礼日時：2014/05/17 13:57

No.1 回答者： spring135 回答日時： 2014/05/16 01:11

このような粗雑な議論をすべきではありません。

lim(x→0)[1/x^2]=∞

は成り立ちます。

lim(x→0)[1/x]

については

xを0.1,0.01,0.001,...のように＋側から0に近づける場合は∞ですが

xを-0.1,-0.01,-0.001,...のように-側から0に近づける場合は-∞です。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！

お礼日時：2014/05/17 13:55