nが自然数のとき、7n+10と2n+3は互いに素であることを示せという問題があるのですがこの問題の解

Question

nが自然数のとき、7n+10と2n+3は互いに素であることを示せという問題があるのですがこの問題の解き方が分かりません…
解説を見たのですが何をいっているのかよく分からなかったので丁寧に教えて頂きたいですm(__)m
よろしければ解答お願いします(*´꒳`*)

kurikuri_maroon · Accepted Answer

互いに素とは、１が最大公約数であることを意味します。
言い替えると、１以外には共通の素因数を持たない、ということを意味します。

７ｎ＋１０ と ２ｎ＋３ が互いに素でない、と仮定してみましょう。
このように仮定すると、共通の素因数 ｋ を持つことになるので、次の①・②のようにあらわせます。

そうすると、ａとｂは自然数で互いに素でなければ意味がないので、ａとｂは互いに素。
また、ｋが１であっては意味がないので、ｋは２以上の自然数です。

要は、①も②も「１を公約数に持たず、ｋだけを公約数に持つ」と仮定するわけです。

７ｎ＋１０＝ｋａ　‥‥　①
２ｎ＋　３＝ｋｂ　‥‥　②

もう少し書き直すと、次と同じです。

１４ｎ＋２０＝２・ｋａ　‥‥　①’
１４ｎ＋２１＝７・ｋｂ　‥‥　②’

②’－①’から、ｋ（７ｂ－２ａ）＝１ となります。

このとき、先ほど「ｋは２以上の自然数」と仮定しましたね。
また、ａもｂも自然数で互いに素なので、当然、７ｂ－２ａは整数になります。

あれあれ？
おかしいですね。ｋ＝１ならば ｋ（７ｂ－２ａ）＝１ は成り立ちますが、「ｋは２以上の自然数」と仮定したので、Ｋ＝１だとダメですよね。

つまり、②’－①’の結果である ｋ（７ｂ－２ａ）＝１ は成り立たないことになるわけです。

ということは、当然、①’も②’も成り立たないし、つまりは、①も②も成り立たない。
成り立たなければ「共通の素因数 ｋ を持たない」ということで「互いに素でない」ということが否定されるので、結局、①と②は「互いに素」。

ということで、７ｎ＋１０ と ２ｎ＋３ は互いに素である、ということが示せます。 
この方法を「背理法」といいます。示すべきこととは逆のことを進めていって、その矛盾を突く（要するに、逆は成り立たない）というやり方です。
こういう示し方もあるんですよ。

ちなみに、回答 No.1 の方法による示し方は「ユーグリッドの互除法」というやり方です。
背理法とあわせて、この手の「互いに素であることの証明問題」には、とてもよく使う方法です。

varietyknowledge · Answer

「互いに素」とは、一方をもう一方で割り算をしたときに余りが0ではない、つまり割り切れないという意味です。解き方は単純で、実際に割り算をすればよいです。

7n+10÷2n+3は、商が3、余りがn+1となります。
nは自然数なので、n+1は0にはなりません。ゆえに、7n+10÷2n+3は割り切れません。

2n+3÷7n+10も同様の考え方で、余りが0にならないため、2n+3÷7n+10は割り切れないことが導出できると思います。

お互いが割り切れないことを導出できれば、互いに素であることが示せます。

互いに素とは、１が最大公約数であることを意味します。