環Rが整閉整域ならば、多項式環R[x]も整閉整域になる証明について Rを整閉整域、KをRの分数体とす

環Rが整閉整域ならば、多項式環R[x]も整閉整域になる証明について


Rを整閉整域、KをRの分数体とする。
K[x]の分数体をLとすると、
LはR[x]の分数体にもなる。

R[x]=Aと置く。
α∈Lが、A上整として、
α∈Aを示す。

K[x]は、一意分解環で整閉整域だから、
α∈K[x]
f(x)=α
f(x)=anx^n+･･+a1x+a0
ai∈K
と置く。

A[T]のモニックな多項式G0(T)で
G0(f(x))=0
と出来る。

G0(f(x))=0
で、x=0を代入すると
｢a0はR上整｣が言えて、
a0∈R
となる。

f1(x)=f(x)-a0
とおく。
f1(x)=anx^n+･･+a1x
f1(x)もA上整なので
A[T]のモニックな多項式G1(T)で
G1(f1(x))=0
と出来る。
G1(T)のTに関する定数項のxに関する定数項は0。
G1(f1(x))=0
の両辺をxで割って、x=0を代入すると
｢a1はR上整｣が言えて、
a1∈R
となる。

f2(x)=f1(x)-a1x
とおく。
f2(x)もA上整で、同じように
a2∈R
となる。

上記を繰返せば、
｢anx^nはA上整｣が言えて、
A[T]のモニックな多項式Gn(T)で
Gn(anx^n)=0
と出来る。
Gn(anx^n)=0
で、x=1を代入すると
｢anはR上整｣が言えて、
an∈R
となる。

以上より
f(x)の係数は全てRに属する。
つまり
f(x)∈R[x]
が言える。

という証明についてですが、

G1(f1(x))=0
の両辺をxで割って、x=0を代入すると

という部分について

両辺をxで割る際にx≠0

を仮定する必要がありますが、そのままx=0を代入していいのでしょうか？

質問者からの補足コメント

• なるほど、零元ではないので割っても問題ないのですね
  
  
  自分なりにこれを回避するために今、G1(T)をf1(x)のK[T]上最小多項式として取るとf1(x)がA上整より、G1(T)はA[T]の元であって、
  
  f1(x)=x(anx^(n-1)+･･+a1)より
  
  G1(f(x))=G1(x)G1(anx^(n-1)+･･+a1)=0
  
  G1(f(0))=G1(0)G1(a1)=0
  
  G1(0)=0ならばG1(x)が最小多項式であることに反するのでG1(a1)=0という証明を考えましたが、これでもいいのでしょうか？

    補足日時：2019/04/15 13:59

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/04/15 13:40

G1(f1(x))=0 の両辺をxで割る際に x≠0 を仮定する必要はありません。

その割り算は、Rでの割り算として行っているのではなく、
R[x]での割り算です。xはR[x]の零元でないので、xでの割り算は可能です。
その際、環R[x]の元をR[x]の元で割っているだけですから、
ｘにせよG1(f1(x))にせよそれが多項式であることを意識する必要はなく、
xの値とかそのときのG1(f1(x))の値とかが話に登場する余地はないのです。

高校では、これを「値の割り算ではなく、多項式として割っているから」と
説明しますが、むしろ多項式であることを忘れて、Rとは別の環での割り算
だからと考えたほうが混乱しにくいように思います。

割り算実行後の式は依然ｘの恒等式ですから、そこにx=0を代入することは
問題ありません。