数学の問題

『x+y+z=0かつx^3+y^3+z^3=0のとき、x,y,zのうち少なくとも1つは0であることを示せ。』

という問題です。
私はx+y+z=0からz=-(x+y)とし、これをx^3+y^3+z^3=0に代入して計算し、xy{-(x+y)}=0になることからxyz=0

という証明をしました。

何か間違いがあれば訂正お願いします！

No.5 回答者： NemurinekoNya 回答日時： 2013/04/30 05:00

計算が苦手な僕なら、計算を省略するために、きっと、

～～～～～～～～～
x^3+y^3+z^3 = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)+3xyz=0
x+y+z=0より
xyz=0
よって、証明された。
～～～～～～～～～
とやるんだろうな。

z=-x-yとして代入をしたら、絶対に答えにたどり着けない自信があります。

No.4 回答者： alice_44 回答日時： 2013/04/29 21:06

質問文中の解法は、鮮やか。

x=0 と置いたら、証明にならないと思うが…

No.3 回答者： noname#180442 回答日時： 2013/04/29 17:00

　x,y,zが実数であれば、良いのではないでしょうか。

zに-(x+y)を代入しなくても、x=0と置いて、簡単に示せます。

No.2 回答者： yyssaa 回答日時： 2013/04/29 14:58

＞間違いは無いと思います。

No.1 回答者： saki_nagatsuka 回答日時： 2013/04/29 14:50

その三次式は因数分解できるので、それが分かれば

手っ取り早い。質問者の方法は基本的な方法で
間違いではない。無駄に公式を暗記するよりはいいかも。