AとBは同じサイズの正方行列とする。A+BとA-Bが正則行列なら （A B B A）は正則行列である

AとBは同じサイズの正方行列とする。A+BとA-Bが正則行列なら
（A B
B A）は正則行列であることを示せ。

教えてください。

No.2 回答者： majimelon37 回答日時： 2019/05/28 19:34

①から⑤の式は行列が見にくいので、図に表示した。

AとBはn次の正方行列とする。Eはn次の単位行列とする。
Oはn次の0行列とする。①
（E　－E　は2n次の正方行列である。
　O　　E）
（A　B　は2n次の正方行列である。
　B　A）
（E　E　は2n次の正方行列である。
　O　E）
この三つの2n次の正方行列をこの順にかけると
（E　－E　（A　B　（E　E　　＿①
　O　　E）　B　A）　O　E）
=(A－B　B－A　 (E　E　
　　B　　　A　) O　E）
=(A－B　 O　
　　B　　A+B)
この式の行列式を計算する。
右上または左下に0行列がある行列の行列式は、
対角要素のn次行列の行列式の積となるので
①の１行目の二つの2n次行列の行列式は1となる。
det（E　－E　=detE×detE=1＿②
　　 O　　E）
det（E　E　=detE×detE=1＿③
　　 O　E）
①の3行目の2n次行列の行列式はdet(A－B)×det(A+B)となる。
det(A－B　 O　= det(A－B)×det(A+B)＿④
　　 B　　A+B)
ゆえに、式①の行列式は⑤となる。
det( A　B　= det(A－B)×det(A+B)＿⑤
　　B　A）
A+BとA-Bが正則行列なら、右辺は0でない。よって
左辺の行列式は0でないから
（A B
　B A）は正則行列である。

No.1 回答者： ANOVA_ANCOVA 回答日時： 2019/05/27 12:19

解き方のみ。

ブロック行列の行列式の計算です。正則行列ならば行列式の値は０となりません。

その事を使い示します。