k代数、環準同型 画像の例3に関して、環準同型とZ準同型は同じとのことですが、どういうことですか？

k代数、環準同型
画像の例3に関して、環準同型とZ準同型は同じとのことですが、どういうことですか？
Zから環Aへの準同型はただ1つであるから、Z［x]からQへの準同型は、結局ただ1つになるということが言いたいのでしょうか？

質問者からの補足コメント

• 命題1.3.14です

  
    補足日時：2019/11/20 01:58

• k代数の定義です

  
    補足日時：2019/11/20 01:58

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/11/20 20:19

ポイントは、Z→A というより、Z→B がただ1つであることじゃないかな。

定義1.3.13 において、f○φ が k→B の準同型であることは自明だから、
f が A→B の k準同型か否かは、準同型 f○φ と ψ が同一か否かに
かかっている。k→B の準同型がただひとつであれば f○φ = ψ と判る。
この例では、Z→Q の環準同型がただひとつであることから
Z[x]→Q が環準同型であることとZ準同型であることが同値になる。

この回答へのお礼

ありがとうございますありがとうございます

お礼日時：2019/11/21 15:16

No.2 回答者： 確変 回答日時： 2019/11/21 09:13

すでに, 適切な回答が付いている.

しかし, ちょっと補足.

k, A, B を環, 以下の写像 g, h, f をすべて環準同型とする.
g : k → A
h : k → B
f : A → B

g, h により A, B を k-代数とみなす.
このとき, 以下の 2 つが同値であることを, 貴方は証明できますか.
1) fg = h
2) f は k-加群の準同型である

これが証明できないと, k-代数の準同型（あるいは k-準同型）を, きちんと理解したとはいえません.
その本は, k-代数や k-準同型を, k-加群と切り離して定義しているため, 解りづらい説明となっています.

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2019/11/21 15:16