リサジュー図形について質問です。 15.12までは求められたのですが、15.13の導出がわからないで

リサジュー図形について質問です。
15.12までは求められたのですが、15.13の導出がわからないです。15.13の答えが間違っているようなので答え合わせも出来ないです。

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2019/11/28 16:44

wt=θとおく。

x=a sinθ、y=a sin(θ-φ)
なので、θ+πの座標を(x',y')とすると x'=-x, y'=-y となり、原点に対して対称な図形となる。

したがって、A,Bを求めるには、原点からの距離 r の最大最小を求め２倍すればよい。さらに、
0≦φ≦π・・・・・①
の範囲で調べればよい。簡単のため r²=x²+y² の最大最小を求める。θの微分を「'」
で表す。
(r²)'=2a²{sinθcosθ+sin(θ-φ)cos(θ-φ)}=a²{sin2θ+sin2(θ-φ)}
=2a²sin(2θ-φ)cos(φ)

(r²)'=0 となるのは、2θ-φ=0, π → θ=φ/2, φ/2+π/2 である（φ=π/2の時は、常に0で、
A=B）。この位置での 2rがA,Bとなる。A≧Bに注意して

θ=φ/2のとき
B=2√(x²+y²)=2a√{sin²φ/2+sin²(-φ/2)}=(2√2)a sinφ/2・・・・②

θ=φ/2+π/2のとき
A=2√(x²+y²)=2a√{sin²(φ/2+π/2)+sin²(-φ/2+π/2)}=2a√{cos²φ/2+cos²(φ/2)}
=(2√2)a cosφ/2・・・・・③

以上のA≧Bや絶対値の議論は①による。

➁③から　tanφ/2=B/A、すると
cosφ=2cos²(φ/2)-1={2/(1+tan²φ/2)}-1={2/(1+B²/A²)}-1=(A²-B²)/(A²+B²)

この回答へのお礼

二通りの解き方を提示していただき、ありがとうございました！どちらも丁寧な説明がついていたのでよく理解できました！

お礼日時：2019/11/29 11:01

No.2 回答者： rnakamra 回答日時： 2019/11/28 17:36

A,Bは(x,y)の原点からの距離の最大値と最小値の半分です。

2乗したものの最大値と最小値を調べればよいでしょう。

|(x,y)|^2=a^2*{(sin(ωt))^2+(sin(ωt-φ))^2}
=a^2*[{sin(ωt)}^2+{sin(ωt)cosφ-sinφcos(ωt)}^2]
=a^2*[{1+(cosφ)^2}{sin(ωt)}^2-2sinφcosφsin(ωt)cos(ωt)+(sinφ)^2*{cos(ωt)}^2]
=a^2*[{1+(cosφ)^2-(sinφ)^2}{sin(ωt)}^2-2sinφcosφsin(ωt)cos(ωt)+(sinφ)^2]
=a^2*[{1+(cosφ)^2-(sinφ)^2}*{1-cos(2ωt)}/2-sinφcosφsin(2ωt)+(sinφ)^2]
=a^2*[-(cosφ)^2*cos(2ωt)-sinφcosφsin(2ωt)+1]
=a^2*[cosφ{-cosφ*cos(2ωt)-sinφsin(2ωt)}+1]
=a^2*{-cosφ*cos(2ωt-φ)+1}

と変形できます。この最大値A^2/4,最小値B^2/4は0<cosφ<1のとき
A^2/4=a^2*(1+cosφ)
B^2/4=a^2*(1-cosφ)
うーん、これだと(15,13)の形にならない。cosφ=(A^2-B^2)/(A^2+B^2)になる。

この回答へのお礼

計算をしていくだけだったのでとてもわかりやすかったです！ありがとうございました！

お礼日時：2019/11/29 11:00

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2019/11/28 19:02

はじめ、計算が面倒なので、微分したが、#2さんの計算を見て、微分無しの方法がわかった。

r²=a²{sin²θ+sin²(θ-φ)}=a²{(1-cos2θ)/2+(1-cos2(θ-φ))/2}・・・・半角の公式
=a²{1-( cos2θ+cos2(θ-φ) )/2}=a²{1-cos(2θ-φ)cosφ}・・・・和と積の公式

したがって、r²の最大最小は、2θ-φ=π、2θ-φ=0 の時と分かる。