くさび状態の2物体間のすべりの問題

下記の問題に自信も無いのに回答したが、突っ込みされる前に完了してしまった。
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/10927276.html
気になって考えていたら、私の解では摩擦が無い μ₁=μ₂=0 の時は、F=0 となって
常識と合わない。

どうも、斜面での力の分解理屈が今一、納得がいかない。そこで調べたら同様な下記の
記事を見つけた。これだと、力のつり合いだけなので全く問題ないように思える。
しかも方法が簡明である。
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/questio …

これを使って、M,mは静止しているから図のように、M,mの重力 Mg,mg、押し込む力F、
各面の抗力N₁,N₂.N₃、各面の摩擦S₁,S₂,S₃だけの水平と垂直成分のつり合いだけを考え
ればよい。

S₁=μ₁N₁, S₂=μ₂N₂, S₃=μ₁N₃
である。

1. mのつり合い
水平　F=S₁+N₂cosθ+S₂sinθ=μ₁N₁+N₂cosθ+μ₂N₂sinθ=μ₁N₁+(cosθ+μ₂sinθ)N₂
垂直　mg=N₁-N₂sinθ+S₂cosθ=N₁-N₂sinθ+μ₂N₂cosθ=N₁-(sinθ-μ₂cosθ)N₂
これから、N₁を消して
F=μ₁{mg+(sinθ-μ₂cosθ)N₂}+(cosθ+μ₂sinθ)N₂
=μ₁mg+{μ₁(sinθ-μ₂cosθ)+(cosθ+μ₂sinθ)}N₂・・・・①

2. Mのつり合い
水平　N₃=N₂cosθ+S₂sinθ=N₂cosθ+μ₂N₂sinθ=(cosθ+μ₂sinθ)N₂
垂直　Mg=N₂sinθ-S₂cosθ-S₃=N₂sinθ-μ₂N₂cosθ-μ₁N₃=(sinθ-μ₂cosθ)N₂-μ₁N₃
これからN₃を消してN₂を求めると
N₂=Mg/{sinθ-μ₂cosθ-μ₁(cosθ+μ₂sinθ)}・・・・・②

①②から
F=μ₁mg+{μ₁(sinθ-μ₂cosθ)+(cosθ+μ₂sinθ)}Mg/{sinθ-μ₂cosθ-μ₁(cosθ+μ₂sinθ)}
となる。

3.　
摩擦が無いとき（μ₁=μ₂=0）　　F=(cosθ/sinθ)Mg
θ=90゜のとき　　　　　　　　F=μ₁mg+{(μ₁+μ₂)/(1-μ₁μ₂)}Mg

以上でよいと思うのだが。

なお、各面での静止摩擦条件は一部が破壊されてもすべての面で破壊されなければ静止
しているので静止摩擦係数を使ってよい。

質問者からの補足コメント

• 

  訂正します。(m+M)を動かすには F=μ₁m+μ₂M が必要でした。例えば、 Mに力を
  加えるとすると、F=μ₂M になると Mは限界を超えますが、mに加わる力は F'=F-μ₂M
  であり、F'=F-μ₂M≦μ₁m の間は(m+M)は動きません。Fを増加してもMが動かない限
  りMの摩擦は μ₂Mのままです。

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2019/01/19 08:14

• 

  さらに、訂正します。Fにgが抜けていました。

    補足日時：2019/01/19 12:01

No.1 ベストアンサー 回答者： rnakamra 回答日時： 2019/01/18 09:18

余りよく見ていないのですが、一つだけアドバイス。

静止摩擦力の大きさはμNではありません。
μNは静止摩擦力のとり得る最大値にすぎません。静止摩擦力はこの大きさ以下の任意の値をとることができます。
静止摩擦力の大きさは力のつり合いで決まります。

この回答へのお礼

有難うございます。全ての接触面で動き出す直前ですからそれでよいように思えます。

お礼日時：2019/01/18 09:44

No.3 回答者： rnakamra 回答日時： 2019/01/18 11:20

#1です。

>有難うございます。全ての接触面で動き出す直前ですからそれでよいように思えます。

それは間違いです。
摩擦が関係する3つの接触面で全てが最大静止摩擦力になる、ということは奇跡的に条件が整わない限りあり得ません。
二つくらいまでなら特別な条件付きであり得なくもないのですが3つともなるとまずありえない。

この回答へのお礼

この辺は前のQAから気になっていたところです。
たとえば、いくつでもよいが簡単にして、2つのm,Mの物体が水平面に接触・並んで
いるとします。これの最大静止摩擦力はμ₁m,μ₂M(本質ではないが面に段差を付けて
μが異なるとする)です。

μ₁m<μ₂Mとすると、F=μ₂M で(m+M)が動き出すことになります。それまでは2つ
とも停止しています。この動き出す直前まで、mは動いていませんので、
F=μ₂M>μ₁m ではありますが、それぞれの静止摩擦力は、μ₁m,μ₂M になっている
と考えましたが、どうでしょうか？

お礼日時：2019/01/18 12:37

No.2 回答者： konjii 回答日時： 2019/01/18 09:24

Ｆ＝ｍｇ＋Ｍｇcos²(９０°ーθ）＊μ₂（１＋cos²(９０°ーθ)sin²(９０°ーθ)μ₁）

この回答へのお礼

？？

お礼日時：2019/01/18 09:44