サインカーブの長さ

サンカーブのカーブ自体の長さってどうあらわされるんでしょうか？
やはりπとrとでなんとかなるんでしょうか。

No.2 ベストアンサー 回答者： Meowth 回答日時： 2007/10/10 19:38

ｙ＝ｆ（ｘ）

の弧の長さｓは
ｓ＝∫｛a～b｝√｛1+ｆ’（x）＾2｝dx
で求まります
sinカーブの長さは
たとえば、
y=sinx
の1周期分だと、
∫｛0～2π｝√｛1+cos＾2x｝dx
で求まります。
＝∫｛0～2π｝√｛2-sin^2x｝dx
＝1/√2∫｛0～2π｝√｛1-1/2*sin^2x｝dx
を計算すればいいことになります。
これは第二種の楕円積分です。
1/4周期の値は第二種の完全楕円積分
ここからの解説はWikiなどにもあります。
Wikiでは
この積分を求めるにはk^2sin^2θを変数と見てマクローリン級数に展開してから項別に積分すれば良い。
だそうです。

この回答へのお礼

protoさんの内容を詳しく書いて頂いているのかと認識します。
サインカーブというのは円を描くときの各点の速度みたいに思うのですがそれが「なんとか」ｘπで現せないとは不思議ですね。

お礼日時：2007/10/10 20:22

No.3 回答者： Meowth 回答日時： 2007/10/10 19:45

ちなみに、k^2=0.5 でのE(k)は1.35064です。

No.1 回答者： proto 回答日時： 2007/10/10 19:34

例えばy=sin(x)の山１個分(0からπまで)の長さLなら

　　L = ∫[0→π]{√(1+(cos(t))^2)}dt
で表されます。

ですがこの積分自体、簡単な関数で表せないので計算機を使うなどして近似値を求めることになります。

この回答へのお礼

わあ積分ですか！！　意外に簡単じゃないんですね。ありがとうございます。

お礼日時：2007/10/10 20:17