太陽光の反射角の計算

■光の入射角
　北から時計回りにA度
　水平面から空方向にB度
■反射パネル
　真南向きに地面からC度の傾斜で設置
■光の反射角
　北から時計回りにX度
　水平面から空方向にY度

この条件下でXとYを算出したいですが、一般式の求め方はどうなるでしょうか？

　X=f(A,B,C)

　Y=f(A,B,C)

の関係式だと思います。

仮にC=0（水平に配置）だとすると、
　X=A+180
　Y=B
仮にC=90（鉛直に配置）だとすると、
　X=360-A
　Y=-B
になります。

よろしくおねがいします。

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2016/02/26 18:35

これは、X, Y という「角度」を求めるのは難しいので、「ベクトルの向き」ということで考えればよいでしょう。

話が厄介なのは、「反射パネルが傾斜している」ということなので、反射パネルを「水平」とみなす座標軸で反射を考え、元の「地面」を基準にした座標に戻してやればよいのです。

　地面を基準にした座標を、「地面をX-Y平面、北がY軸、東がX軸」「地面に鉛直な高さ方向をZ軸」にすると、入射光のベクトル →Ri は、ベクトルの長さを R とすると、きちんと図を書けばわかるように
　　→Ri = (-R*cosB*sinA, -R*cosB*cosA, -R*sinB)
です。

　これを、「反射パネルをX-Y平面、北の方向がY軸、東がX軸」「反射パネルに鉛直な高さ方向をZ軸」に変換すると、要するにもともとの「地面」座標を、X軸を軸として角度「-C」だけ回転したものだということが分かります。つまり、X座標は変わらず、Y,Zが回転します。角度 -C だけ座標軸が回転すると、新しい座標 Y', Z' は
　　Y' = Y * cos(-C) + Z * sin(-C)
　　Z' = -Y * sin(-C) + Z * cos(-C)
となりますから、反射パネルを基準にした座標では、入射光 →Ri1 は
　　→Ri1 = (-R*cosB*sinA, -R*cosB*cosA*cosC + R*sinB*sinC, -R*cosB*cosA*sinC - R*sinB*cosC)

　これが基準面（X-Y平面）で反射するということは、ベクトルのX,Y成分は変わらず、Z成分だけが反転するということです。つまり、反射光 →Ro1 は
　　→Ro1 = (-R*cosB*sinA, -R*cosB*cosA*cosC + R*sinB*sinC, R*cosB*cosA*sinC + R*sinB*cosC)

　今度は、これを「地面」座標に戻すために、座標軸をX軸を軸として角度「C」だけ回転させます。
　その結果のY成分は、
　　　[ -R*cosB*cosA*cosC + R*sinB*sinC ]*cosC + [ R*cosB*cosA*sinC + R*sinB*cosC ]*sinC
　　= -R*cosB*cosA*cos^2C + R*sinB*sinC*cosC + R*cosB*cosA*sin^2C + R*sinB*cosC*sinC
　　= -R*cosB*cosA*(cos^2C - sin^2C) + R*sinB*(sinC*cosC + cosC*sinC)
　　= -R*cosB*cosA*cos(2C) + R*sinB*sin(2C)
Z成分は
　　　-[ -R*cosB*cosA*cosC + R*sinB*sinC ]*sinC + [ R*cosB*cosA*sinC + R*sinB*cosC ]*cosC
　　= R*cosB*cosA*cosC*sinC - R*sinB*sin^2C + R*cosB*cosA*sinC*cosC + R*sinB*cos^2C
　　= R*cosB*cosA*(cosC*sinC + sinC*cosC) + R*sinB*(cos^2C - sin^2C)
　　= -R*cosB*cosA*sin(2C) + R*sinB*cos(2C)

　これより、「地面」座標での反射光のベクトル →Ro は、
　　 →Ro = (-R*cosB*sinA, -R*cosB*cosA*cos(2C) + R*sinB*sin(2C), -R*cosB*cosA*sin(2C) + R*sinB*cos(2C))

　けっこう複雑ですねえ。計算間違いしているかもしれませんので、検算してみてください。

　ご質問のように、
■光の反射角
　北から時計回りにX度
　水平面から空方向にY度
という条件にすると、
　tanX = x/y = (-cosB*sinA)/(cosB*cosA*cos(2C) + sinB*sin(2C))
　tanY = z/√(x^2 + y^2)
　　　 = [ -cosB*cosA*sin(2C) + sinB*cos(2C) ] / √[ (cosB*cosA*cos(2C) + sinB*sin(2C))^2 + (cosB*cosA*sin(2C) + sinB*cos(2C))^2 ]
　　　 = [ -cosB*cosA*sin(2C) + sinB*cos(2C) ] / √[ cos^2B*sin^2A*cos^2(2C) + 2*cosB*cosA*cos(2C)*sinB*sin(2C) + sin^2B*sin^2(2C) + cos^2B*cos^2A*sin^2(2C) + 2*cosB*cosA*sin(2C)*sinB*cos(2C) + sin^2B*cos^2(2C) ]
　　　 = [ -cosB*cosA*sin(2C) + sinB*cos(2C) ] / √[ cos^2B*cos^2A + 4*cosB*cosA*cos(2C)*sinB*sin(2C) + sin^2B ]
う～ん、ちょっと面倒くさいので、これ以上はパスします。
　おそらく、tanX、tanYでこれですから、
　　　X= ･･･
　　　Y= ･･･
とはうまく表せないと思います。

　ちなみに、Ri = (Rx, Ry, Rz) として、これを使って Ro を表わすと
　　　Ro = (Rx, Ry*cos(2C) - Rz*sin(2C), Ry*sin(2C) - Rz*cos(2C))
ですね。A, B は消えて、入射ベクトルに対して「C」のみの関数で表わせます。
　この形で表わすのが一番わかりやすいと思います。

　仮に、C=0° とすれば
　　　Ro = (Rx, Ry, -Rz)
ですから、素直な地面(XY平面）での反射です。
　また、C=90° とすれば
　　　Ro = (Rx, -Ry, Rz)
ということで、XZ平面での反射になります。
　正しい反射になっていますよね？

No.1 回答者： uen_sap 回答日時： 2016/02/26 16:58

こういう問題はポンチ絵で概況を説明しないと。

意味全く不明。