物理 円筒面内の運動

物理の質問です。(力学)

図に示すような断面をもつ半径r(m)の円筒が、軸Oを水平に固定されている。
Aは円筒内面の最下点、Bは軸Oと同じ高さの円筒内面の点、
Cは円筒内面の最上点である。

点Aに小球を置き、水平左向きに速さv0(m/s)を与える。
重力加速度をg(m/s^2)とし、小球と円筒面との摩擦、空気抵抗は無視できるものとして、
以下の問いに答えよ。

(1)小球を点Bまで到達させるには、速さv0(m/s)はいくら以上でなければならないか。

(2)小球を点Cまで到達させるには、速さv0(m/s)はいくら以上でなければならないか。

(3)ある速さv0を与えたところ、小球はBC間の点P(角COP=θとする)で円筒内から離れ放物運動をし、点Qで円筒面と衝突した。

(a)点Pでの小球の速さvをg、r、θを用いて表せ。

(b)小球がPで離れてから点Qで衝突するまでの時間tをg、r、θを用いて表せ。

(c)点Qが点Aと一致するためには速さv0はいくらでなければならないか。g、rで表せ。



(3)の(b)、(c)はどうやって解けばよいのでしょうか……

No.1 回答者： uen_sap 回答日時： 2016/06/30 10:24

P点での速度がわかれば、P点離脱後の放物線の軌跡が決まります・・・方程式にする。

この方程式と円筒の円部の方程式を連立させれば、Q点の座標が求まる。
これですべて決定できます。
このQの座標にA点の座標をいれてやれば、他んぼ未知数が確定する。

この回答へのお礼

具体的になるのですが、放物線の方程式がy=xtanθ-(gx^2)/(2rgcos^3θ)、円の方程式がsin^2θ+cos^2θ＝r^2となっています。どの文字を消去することになるのでしょうか？

お礼日時：2016/06/30 12:06

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2016/06/30 19:26

ちょっと大変ですが、やってみました。

摩擦や空気の抵抗などの損失がないので、単純に「エネルギー保存の法則」を使って解きます。
小球の質量を m とします。

（１）Ａ点では、B点（高さ r ）の位置エネルギーよりも大きな運動エネルギーを持てばよいので、
　　(1/2)m(v0)^2 ≧ mgr
v0≧0 であるから
　　v0 ≧ √(2gr)

（２）同様に、Ａ点では、Ｃ点（高さ 2r ）の位置エネルギーよりも大きな運動エネルギーを持てばよいので、
　　(1/2)m(v0)^2 ≧ mg*2r
v0≧0 であるから
　　v0 ≧ 2√(gr)

（３）(a) Ｐ点（高さ r + r*cos(θ) ）での速さを vp とすると、
　　遠心力：Fr = m(vp)^2 /r
　　重力の円の中心向きの成分：Fg = mg*cos(θ)
Ｐ点で小球が円筒内面を離れたということは、この2つが等しくなった（P点より上では遠心力の方が小さくなる）ということなので、
　　m(vp)^2 /r = mg*cos(θ)
より、vp≧0 なので
　　vp = √[ rg*cos(θ) ]　　(A)

(b) 小球は、P 点から離れた後は、重力による等加速度運動になる。
　初速度は、
　（水平方向）vp* cos(θ)
　（鉛直方向）vp* sin(θ) 　（上向き）
であり、P 点を離れてから t 秒後の速度は、
　（水平方向）vx(t) = vp* cos(θ) 　　（等速度）
　（鉛直方向）vy(t) = vp* sin(θ) - gt　　（等加速度）
O を原点とした t 秒後の位置は、
　（水平方向）x(t) = -r*sin(θ) + vp* cos(θ) * t　　　（１）
　（鉛直方向）y(t) = r*cos(θ) + vp* sin(θ) * t - (1/2)gt^2　　　（２）
これは「放物線」になります。

Q点は、O を原点とした半径 r の円上なので、
　　x^2 + y^2 = r^2　　　(B)
(1)(2)の x(t), y(t) がこの条件を満たすことから、そのときの t を求める。（ここからが大変）

力技で、(B)に(1)(2)を代入して
　　[ -r*sin(θ) + vp* cos(θ) * t ]^2 + [ r*cos(θ) + vp* sin(θ) * t - (1/2)gt^2 ]^2 = r^2　　（３）
この左辺を展開して、
　　r^2*sin^2(θ) - 2r*vp*sin(θ)*cos(θ)*t + vp^2* cos^2(θ) * t^2
　+ r^2*cos^2(θ) + vp^2*sin^2(θ)*t^2 + (1/4)g^2t^4 + 2r*vp*sin(θ) *cos(θ)*t - rg*cos(θ)*t^2 - vp*g*sin(θ)*t^3
　= r^2 + vp^2*t^2 - rg*cos(θ)*t^2 - vp*g*sin(θ)*t^3 + (1/4)g^2t^4

（３）式に戻すと両辺の r^2 が消えて
　　vp^2*t^2 - rg*cos(θ)*t^2 - vp*g*sin(θ)*t^3 + (1/4)g^2t^4 = 0
見やすくするため全体に 4 をかけて
　　t^2 [ g^2t^2 - 4vp*g*sin(θ)*t - 4rg*cos(θ) + 4vp^2 ] = 0
t≠0 であるから
　　g^2t^2 - 4vp*g*sin(θ)*t - 4rg*cos(θ) + 4vp^2 = 0

t についての二次方程式の一般解の式を使って
　　t = [ 4vp*g*sin(θ) ± √{ [ 4vp*g*sin(θ) ]^2 - 4* g^2*[ -4rg*cos(θ) + 4vp^2 ] } ] / 2g^2

ルートの中は
　　[ 4vp*g*sin(θ) ]^2 + 4* g^2*[ 4rg*cos(θ) - 4vp^2 ]
　= 16g^2 [ vp^2*sin^2(θ) + rg*cos(θ) - vp^2 ]
　= 16g^2 [ vp^2*(sin^2(θ) - 1) + rg*cos(θ) ]
　= 16g^2 [ rg*cos(θ) - vp^2*cos^2(θ) ]

よって
　　t = { 2vp*sin(θ) ± 2√ [ rg*cos(θ) - vp^2 * cos^2(θ) ] } / g

vp に(A)を入れて
　　t = { 2 √[ rg*cos(θ) ]*sin(θ) ± 2√ [ rg*cos(θ) - rg*cos(θ) * cos^2(θ) ] } / g
　　 = 2 √[ rg*cos(θ) ] ( sin(θ) ± √( 1 - cos^2(θ) ) / g
　　 = 2 √[ rg*cos(θ) ] ( sin(θ) ± sin(θ) ) / g
t>0 なので「プラス」側が求める解であり、
　　t = 4 √[ rg*cos(θ) ] *sin(θ) / g


(c) 落下地点がA点ということは、上の（１）（２）式で、
　（水平方向）x(t) = -r*sin(θ) + vp* cos(θ) * t = 0 　　（４）
　（鉛直方向）y(t) = r*cos(θ) + vp* sin(θ) * t - (1/2)gt^2 = -r　　（５）
ということです。

　（４）より
　　t = r*sin(θ) / vp* cos(θ)
これを（５）に代入して
　　r*cos(θ) + vp* sin(θ)*r*sin(θ) / [vp* cos(θ)] - (1/2)g[r*sin(θ) / vp* cos(θ)]^2 = -r
整理して
　　r*cos(θ) + r*sin^2(θ) / cos(θ) - (1/2)gr^2*sin^2(θ) / [vp^2 * cos^2(θ)] = -r

ここに(A)を代入して
　　r*cos(θ) + r*sin^2(θ) / cos(θ) - (1/2)gr^2*sin^2(θ) / [rg*cos(θ) * cos^2(θ)] = -r

r*cos(θ) + r*sin^2(θ) / cos(θ) = r*[ cos^2(θ) + sin^2(θ) ] / cos(θ) = r/cos(θ)
sin^2(θ) = 1 - cos^2(θ)
などを使って整理し
　　1/cos(θ) - (1/2)[ 1 - cos^2(θ) ] / cos^3(θ) = -1
　　2cos^2(θ) - 1 + cos^2(θ) = - 2cos^3(θ)
　　2cos^3(θ) + 3cos^2(θ) - 1 = 0
　　( 2cos(θ) - 1 )( cos(θ) + 1 )^2 = 0
よって
　　cos(θ) = 1/2 または cos(θ) = -1
0≦θ≦90° であるから
　　cos(θ) = 1/2
つまり
　　θ = 60°

このとき、(A)より
　　vp = √(rg/2)
であるから、v0 は
　　(1/2)m(vp)^2 = (1/2)m(v0)^2 - mg[r + r*cos(θ)]
　　　　　　　　 = (1/2)m(v0)^2 - (3/2)mgr
より
　　(1/2)m(v0)^2 = (1/2)m(vp)^2 + (3/2)mgr
　　　　　　　　 = (1/4)mrg + (3/2)mgr
　　　　　　　　 = (7/4)mrg
よって
　　v0 = √[ (7/2)rg ]

ふ～っ！！　どこかで計算違いしているかも。


つまり、(3)の(b)、(c)は、小球が重力で自由落下する「放物線」と、円柱内面の「円」の交点を求めることになります。
上で言えば、（１）（２）式の放物線と、(B)式の円です。

No.1の補足にある
＞円の方程式がsin^2θ+cos^2θ＝r^2
は間違いですよ。sin^2θ+cos^2θ＝1 になっちゃいます。
それに、ここでは円柱内面を離れるところの θ とは全く無関係な場所で円柱内面に衝突しますから。

また、（１）（２）を1つにまとめた放物線の式にしてしまうと、やりにくいと思います。「水平」と「鉛直」に分けて式を立てた方が、考え方を整理したり、後で検算するときにも楽です。

この回答へのお礼

ありがとうございます。非常にわかりやすかったです。

お礼日時：2016/07/01 00:10