質量 M,半径αの円板が1つの直径を固定軸として回転できるようになっている。質量mの物体が速さvで円

質量 M,半径αの円板が1つの直径を固定軸として回転できるようになっている。質量mの物体が速さvで円板に垂直に飛んできて, 円周上の軸から最も遠い点に衝突した.

(i) 衝突後の円板の角速度ωを求めよ.
(ii) 物体が円板に与えた撃力Pを求めよ.

ただし、反発係数は0.5である.

この問題の(ii)を、撃力Pが与えられる前後の円盤の角運動量の変化を式にして、
Pa=ma^2ω
として解いたのですが、これは正しいですか？

(i)の答えは、
ω=3/(2a)*mv/(m+M/4)
です。

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2022/10/22 00:53

(i)

＞質量mの物体が速さvで

その「直進運動」の運動量は
　mv

＞円周上の軸から最も遠い点に衝突

上記の運動量を、円板の回転軸回りの「角運動量」に変換すると、半径が a なので
　mva

円板の角運動量 L は、円板の慣性モーメントを I、角速度を ω として
　L = Iω
円板の直径を回転軸としたときの慣性モーメントは
　I = (1/4)Ma^2
なので
　L = (1/4)Ma^2･ω　　　　①
円板の周速度を v2 とすると
　ω = v2/a　　　　②
なので
　L = (1/4)Mav2

従って、物体の衝突後の速度を v1 として、角運動保存の式は
　mva = (1/4)Mav2 + mv1･a　　　　③

一方、反発係数より
　(v1 - v2)/(v - 0) = -0.5
→　v1 - v2 = -(1/2)v
→　v1 = v2 - (1/2)v

これを③に代入して
　mva = (1/4)Mav2 + ma[v2 - (1/2)v]
→　(3/2)mv = [m + (1/4)M]v2
→　v2 = (3/2)mv/[m + (1/4)M]

②より
　ω = 3mv/{2a[m + (1/4)M]}


(ii) 撃力は P = F･Δt であり、物体の方の運動量変化で求めればよいと思います。

つまり
　P = mv - mv1 = m[v - v2 + (1/2)v]
　　　　　= m{(3/2)v - (3/2)mv/[m + (1/4)M]}
　　　　　= m{(3/2)mv + (3/8)Mv - (3/2)mv]/[m + (1/4)M]
　　　　　= (3/8)Mmv/[m + (1/4)M]


もし「撃トルク」Fa･Δt = Pa を使うのであれば、撃トルクが角運動量の増加に等しいので
　Pa = Iω - 0 = (1/4)Ma^2･ω = (1/4)Ma^2･3mv/{2a[m + (1/4)M]}
　　= (3/8)Mamv/[m + (1/4)M]
よって
　P = (3/8)Mmv/[m + (1/4)M]


＞この問題の(ii)を、撃力Pが与えられる前後の円盤の角運動量の変化を式にして、
Pa=ma^2ω
として解いたのですが、これは正しいですか？

いいえ。角運動量は「慣性モーメント」と「角速度」の積
　L = Iω
です。
従って
　ΔL = IΔω
です。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
角運動量は、回転中心からの距離ベクトルと、その物体の運動量ベクトルの外積で求められると思ったのですが、それはできないのはなぜでしょうか？

お礼日時：2022/10/22 08:40

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2022/10/22 11:46

No.1 です。

「補足」に書かれたことについて。

＞角運動量は、回転中心からの距離ベクトルと、その物体の運動量ベクトルの外積で求められると思ったのですが、それはできないのはなぜでしょうか？

角運動量についてはその通りです。

あなたが使っている「角運動量」
　ma^2ω
は、「円板の角運動量」ではなく、「半径 a 、角速度 ω で回転する質量 m の質点の角運動量」です。
角速度 ω で回転する質量 M の円板の角運動量は、円板の慣性モーメント
　I = (1/4)Ma^2
を使って
　L = Iω = (1/4)Ma^2･ω
になりますよ。
円板は、静止状態からこの角運動量を持つようになるので、この角運動量が「角運動量の変化」になります。

質量 m の物体の方の運動量の変化は
（衝突前）mv
（衝突後）mv1
ですから、運動量の変化（減少分）は
　Δp = mv - mv1
になります。

この回答へのお礼

剛体の角運動量を勘違いしてました。とてもわかり易くて、よく理解できました。ありがとうございました。

お礼日時：2022/10/22 21:16