自由落下が続くと速度は光速を越えるのでしょうか？

Question

初歩的なことのような気がして、恥ずかしいのですが 教えてください。
（正しくない用語や 意味不明な言い回しがあるかもしれませんが よろしくお願いします。）

空気抵抗など無い空間で、ひとつの大きな質量に向かって小さな質量が落ちて（？）行くときに 十分な時間があると 速度は光速(c) に達するのでしょうか？
もし、光速に達するなら その瞬間その小さな質量はどうなるのでしょうか？

例えば、
・光速に達することは許されない。
・光速になった瞬間に 消える。（この宇宙のものでなくなる？）

お薦めの本など 教えて下さっても うれしいです。

First_Noel · Accepted Answer

＃５、＃９です。再三失礼致します。

＞mgh=0.5*m*v^2

ｇの値は高度によって変わりますから、万有引力の法則での
ポテンシャルエネルギー（位置エネルギー）の式、
Ｖ＝－ＧｍＭ／ｒ、と用います。（無限遠でのＶを０とする。）

運動エネルギーはＴ＝（１／２）ｍｖ＾２で、
無限遠での速度が０であれば、Ｔ＋Ｖ＝０、がエネルギー保存則です。
特殊相対性理論は、物体の速度ｖと質量ｍとがお互いに相関を示すことを言っています。
一般相対性理論は、重力ポテンシャルＶに関わってきます。

洗面器かボールにサランラップを張り、そこに何か錘を載せると若干凹みますが、
この凹みが重力ポテンシャルＶを表しています。
（サランラップはのびにくいのでそれほど凹みませんが、
　空間はゴムのように、重力があると歪んでいるようです。）
この凹みの具合は、錘の重さに依存しています。
自由落下とは、無限遠からこの凹みに落ちて行く状態です。
そして、物体が加速される状況は、この凹みに依存しますから、
結局、物体の加速は錘の重さにのみ依存することになります。

さて、私もなかなか説明下手なので、あとはお子様の自然科学へのご興味に
お任せさせて頂くとしまして、この辺は加速度環境ですから、特殊ではなく、
一般相対性理論の範疇で、なかなか難しい数学知識を要する物理理論です。
私は途中で挫折しました。若い方に期待したいところです。
この辺を理解するとどのようなことを洞察できるかの一例として、
読み物としてですが、参考ＵＲＬのようなものを示させて頂きます。

参考URL：http://homepage3.nifty.com/iromono/hardsf/

shiara · Answer

No6です。以下の質問にお答えします。
　「速度はゆっくりとなり 止まってしまいます」って言うのは、その半径から 十分に離れた距離から見ていれば 止まっているように見えるが、落ちていく物質に乗っていれば 光速近くで動いている のでしょうか？

　驚きました。そのとおりです。私も見逃しておりましたが、落下する物体の時計で測った時間では、落下する速度uは、u＝ｃ√(a/r)となります。シュワルツシルト半径ではｒ＝aですから、u＝cとなります。さらに、シュワルツシルト半径より内部に入ると、速度はcより大きくなる、という答えになります。これをどう解釈すればよいのか、私には？です。
　なお、ｖの式もuの式も、星がブラックホールかどうかには依存しません。普通の星でも成り立ちます。ただし、普通の星は、シュワルツシルト半径aが星の表面よりも内部になるため、シュワルツシルト半径に到達する前に地表面にぶつかってしまうということです。

First_Noel · Answer

＃５です．
間違っていることに対する修正の意味での回答はマナー違反ではなく，
むしろ必要なことだと思います．
でもつたない私の説明はお子様には満点を頂けず，力不足．．すみません．

＞ん～ その回答だと こどもは納得してくれません。
＞現象の説明だけで 理由がないからです。

まず相対論を持ち出すでもない速度範囲であっても
重力ポテンシャルの話をしないといけません．

自由落下によって物体がどこまで加速されるかは，
重力源の質量によって決まってしまうのです．
無限遠から無限の時間をかけて自由落下しても，
この制限以上の速度にはなりません．
「十分な距離と時間」があっても，それは無関係です．
単に星の質量にのみ依存します．

従って，ブラックホール以外ですと，光速を越える前に，
地面にぶつかってしまうことになります．
ブラックホールを持ち出したのには理由があるのです．

あと＃６さまへの補足に対してですが，
外から落ちていくさまを見ていると確かに＃６さまおっしゃるように，
事象の地平線で止まったように見えますが，
落ちて行く側にとってみれば，自由落下は継続しています．

で，これではどうでしょうか．

「自由落下で地面にぶつかるまでに達する速度は，
　重力源の星の質量で決まってしまい，エネルギー保存則から，これ以上にはなり得ない．」

「自由落下の加速度は星の質量に比例して大きくなる．」

「光速を越える為にはある質量以上の星でなければならない．
　その質量以上の星は，『ブラックホール』と呼ばれている．」

ruehas · Answer

こんにちは。
＃４です。回答をお読み頂きありがとうございます。
「凄い質問」と申し上げたのは、これが相対理論の話題で、私がこれまで巡り会ったことのない例題だったからです。それが、小学生のお子さんだったとは、二重の驚きです。

色々ご指摘を頂きましたが、私は全部には反論できませんし、意地を張ってマナー違反をするわけにもゆきません。ですから、誓って引っ掻き回しに来たのではないのですが、質問に関わることですから、私にもひとつだけ指摘しておかなければならないことがあります。

この思考実験には、ブラック・ホールは関係ありませんよね。命題は「自由落下する物体の速度は光速を超えるか」ということです。ですから、ブラック・ホールだから速度が遅くなるというのは回答にはならないと思います。
＃６さんの説明がそれを明言したものではないということは充分承知していますので、その辺はご了承下さい。ただ、この質問全体では留意に値する点だということなんです。
この質問の最も面白いところは、「十分な距離と時間があれば」ということです。私はやはり、凄い質問だと思います。

どうも、お役に立てなかったようで申し訳ないことです。
お子さんのおかげで大変良い勉強をさせて頂きました。

pyon1956 · Answer

No.6さんの回答で決着がついたとおもわれるのですが、No.4ruehasさんの意見について、蛇足。
「常識的に考えて」に問題があります。この常識というのはつまりわれわれの日常感覚の世界のことと考えていいと思うのですが、相対性理論は確かにそういう意味で非常識的です。しかしそれは間違っているからではなくて、単にわれわれの日常の世界の速度が光速度に比べてあまりに小さく、相対論的に計算した場合とニュートン力学的に計算した場合の違いがほとんど無いから、よりわかりやすいニュートン力学的に考えているに過ぎません。
実際光に比べ相応に速い物や、星程度に重いものについては相対論で計算しないと事実にあいません。

また加速重力（用語としてかなり問題あり）は生じていない、というのは2重に混乱していますね。
運動する物体自身の内部にいた場合、自由落下状態だと無重力になった、と感じられますが、もともとあったはずの地球の重力はどうなったか考えてくださいな。
つまり「加速重力」によってうちけされた、ということになります。
まあこれはニュートン力学でも同じですが。
第二に物体が加速しても別に重力は発生していません。
失礼ながら変な入門書を読まれてかなり誤解しておられるように思われます。この「加速重力」などの用語の定義がむちゃくちゃになってます。

shiara · Answer

相対性理論を考えない場合は、次のようになります。質量ｍの物体が質量Ｍの星に落ちていくことを考えると、星の作る重力ポテンシャルが、物体の運動エネルギーになる訳ですから、物体の運動エネルギー(1/2)ｍｖ^2と、ポテンシャルエネルギーｍＧＭ/ｒが等しいとおけば、星の中心からの距離ｒでの速さｖが求まります（ここでは、星からはるかに離れた場所での速さを0とします）。
　この場合、星の質量Ｍが非常に大きく、ｒが小さければ、ｖが光の速度を超える答えもありえます。しかし、相対性理論では、物体の速さが光の速度を超えることはないことを示しています。この場合は、次の2つの観点から考えなければなりません。まず第一に、物体の速度が速くなると、質量が大きくなり、加速されにくくなる、という点です。2つめは、重力場の大きなところでは、時間の流れかたが遅くなり、そこを運動する物体の速度は遅くなる、という点です。
　まず、第一の点ですが、質問者さんがNo1さんの回答へのお礼に書いているように、質量は速度に依存し、速度が速くなるほど質量は大きくなります。このときの物体の速度は、よく知られた運動方程式から求められます。運動量Pは、質量ｍと速度ｖの掛け算ですが、この質量ｍがｖの関数で、運動量Pの時間微分が力Ｆになります。つまり、
d/dt(ｍ0ｖ/√(1-(v/c)^2))＝Ｆ
　この式は容易に解くことができ、速度ｖは限りなく光の速度ｃに近づきますが、ｃを超えることはありません。
　次に第二点目ですが、星の作る重力場では、遠方から見た場合、時間の進み方が遅くなっています。星がブラックホールのような高密度の星の場合、シュワルツシルト半径と呼ばれる位置では、時間は止まってしまいます。したがって、この星に落下していく物体があった場合、シュワルツシルト半径に近づくと、その速度はゆっくりになっていき、ついには止まってしまいます。
　以上の２点をまとめると、次のようになります。はるかかなたに0であった物体が星（ブラックホールとします）の引力に引かれて落ちていくと、次第に速さを増していきますが、光の速度を超えることはなく、しかも、ある程度近づいてくると、逆に速度が遅くなってきて、ついには止まってしまいます。このときの物体の速度ｖと、星からの距離ｒとの関係は、次の式で与えられます。
　ｖ＝ｃ(1-a/r)√(a/r)
ここで、aはシュワルツシルト半径で、a=2GM/c^2です。aが非常に小さい場合は、最初に書いた相対性理論を考えない場合の速度ｖと同じになります。

First_Noel · Answer

＃４さまのおっしゃる「絶対」「相対」ですが，残念ながらこの宇宙には
「絶対基準」となり得る「絶対座標系」は存在しないとされています．
また，相対性理論は，
「ある運動をある観測者が観測する場合は，両者の相対運動に依存する」
と言うものであるので，別々の運動をしているＡ，Ｂ，Ｃ君が
それぞれを見た場合，全員が異なるように見えることになります．
今のところ一般相対論に矛盾することを矛盾なく成立させる物理は
見付かっていませんし，観測もされていません．

さてお子様の疑問，
＞・ものを落とすとどんどん早くなる。
＞（塾で習ったらしい）
＞・光より速くはなれない。
＞（こども向けの科学雑誌で知ったようです。）
＞・矛盾する。
ですが，いいとこついていると思います．
ただ通常，重力源である物体までしか運動できないと言う制約があります．

しかしブラックホールになると，光速は越えている「かも」知れません．
なぜ「かも」をつけたかと言えば，光速を越えた物理を我々は知らない上に，
たとえ仮説はできても，それを観測によって検証することが出来ません．
ブラックホールに落下していくと，あるところで光も脱出できなくなる
「シュバルツシルト半径」を通過し，ここで光速度を越える可能性があります．

お子様への回答として，
「ブラックホールなら有り得る．
　ブラックホール以外だと，光速を越える前に地面にぶつかる」
となります．

ruehas · Answer

こんにちは。
overtoneさん凄い！
私はこのサイトに参加して以来、一番凄い質問だと思います。こんな柔軟な脳みそを持っておられるあなたが羨ましいです。
私の回答は「当然、光速を超えてしまう」です。
ですが、それが一般相対性理論の制約を受けることはありません。

落下する物体は加速度運動をしていますので、充分な距離と時間があれば、常識的に考えて、何れは光の速度秒速３０万ｋｍに達し、それを簡単に超えてしまいます。
相対性理論では、物体の運動速度は光速を超えることはないとされていますが、これは「絶対運動速度」の場合の話です。「絶対運動」とは、加速度運動であり、進行方向と逆向きに「加速重力」が発生しなければなりません。
「自由落下」は確かに加速度運動ですが、落下している物体は無重力状態で、加速重力は発生していません。つまり、落下する物体の速度は「絶対速度」ではなく、飽くまで引寄せる天体との「相対速度」なんです。ですから、相対性理論の制約を受けることはありません。

「絶対速度」とは、ロケット・エンジンのようにエネルギーを消費して得られる、宇宙空間、即ち「真空」に対しての速度です。特定の天体や物体同士が離れたり近付いたりする速度ではありません。でなければ、宇宙空間で移動するふたつの物体の相対速度が光速を超えたときは、擦れ違ってはいけない、ということになってしまいます。そんなことはないんです。

USKURO · Answer

自由落下を続けるということですが、等加速度直線運動を続けるという事と捕らえることが出来ると思うので、例えば、宇宙船が１Ｇの加速度で飛行を続けるとどうなるかということでも同じであると思います。

この場合の速度を、中学か高校で習った物理の公式 v=at（速度＝加速度×時間）で求めると、１年後には光速を超えてしまいます。

実はこれ、v=atという公式が厳密にいうと間違っていて、速度が大きくなればなるほど誤差が大きくなってしまうのです。実際には光速を超えることは出来ません。
ただ、普段の生活のレベルであれば、v=atは近似値として正しい値を与えてくれます。

mama_mama · Answer

自由落下って、引力でしょ。
ひきつけあう相手に到達すると止まります。
地球上では無理ですね。
宇宙の中にはありえる、と考えられています。

これ、宇宙のあちこちにあって周りのものをどんどん吸い込んでいるというブラックホールです。

巨大な星が年をとると、赤色巨星となって膨張して、それがどんどん大きくなると、自分の重さでつぶれてしまいブラックホールになるといわれています

観測に使っているのが光なので、光がこちらに届かないとその先がどうなっているかわからないんです。
光速より早いので、どれだけ早いか、どこへ行ってしまったかわからないです。
引力（重力）が強いもの周囲は、時間もゆがむ、と言われています。

　これがＳＦでいう「ワープ！」です。ブラックホール並みの質量が存在する場所や早さがないとできないのに、とってもお手軽に宇宙船につけられて、ワープ１とかワープ２とか数字があって、自由自在に使いこなせているのが楽しいです。

　ブルーバックスという新書のシリーズの宇宙がらみの本や、星の本を読んで、あこがれて読んでました。
ここまで自分だけで発想できるのは、すごいですね。そういう疑問を持つ発想は大切にしてください。

参考URL：http://www.planetary.or.jp/StarChild/black_holes.html

自由落下が続くと 速度は光速を越えるのでしょうか？

＃５、＃９です。

No6です。

＃５です．

この回答への補足

こんにちは。

No.6さんの回答で決着がついたとおもわれるのですが、No.4ruehasさんの意見について、蛇足。

相対性理論を考えない場合は、次のようになります。

＃４さまのおっしゃる「絶対」「相対」ですが，残念ながらこの宇宙には

こんにちは。

自由落下を続けるということですが、等加速度直線運動を続けるという事と捕らえることが出来ると思うので、例えば、宇宙船が１Ｇの加速度で飛行を続けるとどうなるかということでも同じであると思います。

自由落下って、引力でしょ。

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