arctanの近似の評価

arctan1.01を剰余項一次近似し、誤差を評価せよ。(π=3.14)という問題がわかりません。

どなたか教えてください。
できれば途中式も書いていただけると助かります。

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/07/31 19:28

もう少し意味の通る日本語で質問してくれると答え易いのだけれど...

とりあえずエスパーしてみますか。

arctan x の x=1 を中心とする １ 次テイラー近似は、
テイラーの定理より
(d/dx)　(arctan x) = 1/(1+x^2),
(d/dx)^2 (arctan x) = (d/dx) { 1/(1+x^2) } = -2x/(1+x^2)^2
を使って
arctan(1+h) = arctan(1) + (1/2)h + R(c)
　　　　　　= π/4 + h/2 + R(c),
ただし R(x) = { -2x/(1+x^2)^2 }h^2/2,　0 < c < h.

これにより、
arctan(1.01)　≒ π/4 + (0.01)/2.
その誤差は、
R(c) = -(0.01)^2 c/(1+c^2)^2, 0 < c < 0.01

R(c) の大きさを評価してみよう。
(d/dx) R(x) = (0.0001)(3x^2-1)/(1+x^2)^3 より、
0 < x < 0.01 の範囲で (d/dx) R(x) < 0 だから
0 < c < 0.01 のとき R(0) > R(c) > R(0.01).
R(0) = 0,
R(0.01) = -100/100020001 ≒ -(9.998)10^-7 > -10^-6

この精度で π を小数展開すると、
arctan(1.01) ≒ π/4 + (0.01)/2 ≒ 0.79040

この回答へのお礼

ありがとうございます。
余剰項"のあるテイラー展開"という文字が抜けていました。すみません。次回からはもう少し気を付けるようにしますね。

お礼日時：2020/07/31 20:05