定積分の置換積分につきまして

すみません。定積分の置換積分についてお訊ねしたいのですが。

∫b to a f(x)dxについて、

x=g(t)のように置換する場合、
xの積分区間[b, a]に対応するtの積分区間[t1,t2]おいて、g(t)は単調である
必要ってありませんでしたっけ？

勘違いかもしれないのですが、少し引っかかってます。

質問者からの補足コメント

• tanΘに置換する問題で、積分区間を第一象限で表して、結果を2倍（or4 倍？）した問題がありました。
  
  置換範囲を単調区間にするためかな？と思ってたのですが、その必要が無いとすると、元の被積分関数が対称形であったために
  基本部分を求めて、定数倍してただけということになりますね。
  4つの象限に分布してる対称図形の面積だったような記憶がぼんやりあります。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2020/10/10 00:54

• 

  やはり、それっぽいですね。
  
  ちょうどtanΘが単調区間になってたので、条件にあるのかな？となったのですが何見ても出てこないし、
  考えてみても、このΘの積分範囲の一部で非単調区間があってもその区間の積分が±でキャンセルされて、全体としてきちんと積分できるような気がしてはいたのですが、止まってしまいました。
  
  中途半端な理解を初期にしてしまうと、妄想のように頭に残るようで、自分では解決しにくいところが私にはあるようです。
  
  お話聞けて感謝します。
  
  それならば、連続かつ微分可能な関数なら良いだけで、単調性は求められないので、より多くの置換積分の候補があることになりますね。
  
  後は、うまく積分が実行できる形をうまく見つけれるかが、ポイントになる。
  
  元々の被積分関数に応じて、最適な形が変わってくるかもしれないが、ある程度万能な形があるなら、それを知っとくのも強力な武器になりますね。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2020/10/13 05:27

No.1 ベストアンサー 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/10/09 22:57

積分区間内で連続かつ微分可能である必要はあるけど、単調である必要はない。

No.2 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/10/10 01:04

関数がtanθで、積分区間が-π/2<θ<π/2の範囲であれば、変数置換できる。

おそらくだけど、対称図形だということが示されていた、もしくは誘導問題で対称図形になることを示した上での設問だったんじゃないかな。

仮に広義積分だとしても、∫[-π/2, π/2]tanθ dθは収束しない。