数Ⅰを教えて欲しいです。 問、aはていすうとする。関数y=−x^2+4ax−a(0≦x≦2)の最大値

数Ⅰを教えて欲しいです。

問、aはていすうとする。関数y=−x^2+4ax−a(0≦x≦2)の最大値を求めよ。

解、a<0のとき最大値−a(x=0のとき)
　　0≦a≦1のとき最大値4a^2−a(x=2aのとき)
　　1<aのとき最大値7a−4(x=2のとき)


読みにくくてすみません…。
解説が書いていないため、やり方が分かりません…(2次関数の場合分け問題という事は理解しています。)
よろしくお願いしますm(_ _)m

質問者からの補足コメント

• 

  皆さんありがとうございます!(≧∇≦)
  ちょっと最近時間があんまりなくいので、時間がある時にじっくり見させていただきます!!m(_ _)m

    補足日時：2020/10/27 07:41

No.4 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/10/25 12:10

まず定数aが３だと仮定しましょう

このとき　y=-x²+12x-3⇔y=-(x-6)²+33・…①
ですからそのグラフの頂点は(6,33)で　定義域の外（右側）ということになりますよね
①のグラフは上に凸なので、定義域の中のグラフは頂点により近い
x=２の位置でもっとも高くなり
x=２で最大値となることがわかります

次に、aが2だと仮定します
このとき　y=-x²+8x-2⇔y=-(x-4)²+14
ですからそのグラフの頂点は(4,14)で　定義域の外（右側）
グラフは上に凸なので、a=2のときも頂点により近い
x=２で最大値となることがわかります

今度は　aが1/2だと仮定します
このとき　y=-x²+2x-(1/2)⇔y=-(x-1)²+(1/2)
ですからそのグラフの頂点は(1,1/2)で　定義域の中にあるということになりますよね
下に凸のグラフでは　頂点が最も高くなるので
a=1/2の場合は
頂点のx=1で最大値y=1/2となることがわかります

もう一つおまけに
aが-1だと仮定します
このとき　y=-x²-4x+1⇔y=-(x+2)²+5
ですからそのグラフの頂点は(-2,5)で　定義域の外（左側）ということになりますよね
ゆえに定義域の中ではグラフは頂点により近い
x=0の位置でもっとも高くなり
x=0で最大値となることがわかります

このように定数aが実際にどんな数字であるか決めると頂点の位置が変わるのです（今回はaが小さくなるほどその位置は左へ移ります）
aの値の違いに連動して頂点の位置が変わり、ゆえに最大値をとる場所が変わってくるのです

そこで、場合分けです
冒頭２例のように、x=2で最大となるケース（定義域の右に頂点）…②
その次の例のように、頂点で最大となるケース（定義域の中に頂点）…③
最後の例のようにx=0で最大となるケース（頂点は定義域の左側）…④
に分けるのです

-x²+4ax-a=-(x-2a)²+4a²-aですから
もじaに数字を当てはめないでそのままにした場合は
2次関数の式は
y=-(x-2a)²+4a²-aとなり
頂点のｘ座標はx=2aであることがわかります

②であるケースとは、頂点のｘ座標:2aが2よりも大きいケースです
これを文字式にすれば　2<2a⇔1<aですから
1<aのときはx=2で最大となり
x=2代入で　y=-2²+4a・2-a=7a-4　これが最大値となります


➂であるケースとは、頂点のｘ座標:2aが0から２の間にあるケースです
これを文字式にすれば　0≦2a≦2⇔0≦a≦1ですから
このときは頂点⇔x=2aで最大となり
x=2a代入で　y=-(2a-2a)²+4a²-a=4a²-a　これが最大値となります
(むろん計算なしに　頂点のy座標：4a²-aが最大値と判断しても良いです）

④であるケースとは、頂点のｘ座標:2aが0よりも小さいケースです
これを文字式にすれば　2a<0⇔a<0ですから
a<0のときはx=0で最大となり
x=0代入で　y=-0²+4a・０-a=-a　これが最大値となります

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2020/10/25 11:02

y=-x²+4ax-a は グラフに書くと、

上に凸な 放物線になる事は 分かりますね。
頂点座標を求めるために 平方完成します。
-x²+4ax-a=-(x²-4ax)-a=-(x-2a)²+4a²-a 。
で、 頂点座標は (2a, 4a²-a) となります。
つまり x=2a のときに 最大値 4a²-a となります。
0≦x≦2 ですから 0≦2a≦2 で 0≦a≦1 となります。

x=0 のときは 元のから y=-a となります。
x=2a のときは 頂点座標の 4a²-a となり、
x=2 のときは 元の式から y=7a-4 となります。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/10/25 10:57

型どおりの問題ですね。

上凸な二次関数の最大値は、二次関数の軸が
・定義域より小さい範囲にある
・定義域に含まれる
・定義域より大きい範囲にある
の３つに場合分けして処理します。

y = - x^2 + 4ax - a = -(x - 2a)^2 + 4a^2 - a については、
・ 2a < 0
・ 0 ≦ 2a ≦ 2
・ 2 < 2a
に場合分けすればよいです。

y = -(x - 2a)^2 + 4a^2 - a のグラフを考えて
2a < 0 のとき、 x = 0 で最大値,
0 ≦ 2a ≦ 2 のとき x = 2a で最大値,
2 < 2a のとき x = 2 で最大値
であることを見つければ、
あとは式を整理して質問文中の答えのようになります。

No.1 回答者： むらさめ 回答日時： 2020/10/25 10:46

y=−x^2+4ax−a　(0≦x≦2)の最大値

y=−x^2+4ax−a　←　強引に平方完成させる
=-(x^2-2(2a)x+4a^2)　+4a^2-a
=-(x-2a)^2　+4a^2-a　　頂点(2a,4a^2-a)

0≦a≦1の時　→　即ち、0≦x≦2　この範囲に軸が存在する時　最大値=4a^2-a
ここまでは理解しやすいです。

a<0の時　x=0と考えyにx=0を代入し　最大値　-a
1<aの時　x=2と考えyにx=2を代入し　最大値　7a-4

としている。　a<0　と　1<a　の時は、平方完成した時、0≦x≦2　
という最初に提示されている　xの範囲外となるため、そのまま　x=0とx=2をyに代入して最大値を求めています。

ちょっと問題自体が微妙な出来である感じがします、明快さに欠けているので、腑に落ちないもやもやの部分が残りますね。