指数分布

ある大学にかかってくる電話の時間間隔 X は平均 0.5 分の指数分布に従う.このとき以下の問いに答えよ.
(1)Xがもつ確率密度関数を求めよ.
(2)一度電話がかかってきてから,次に電話がかかってくるまでの時間が 1 分以下である確率を求めよ.


という問題を解きたいのですが、指数分布って「単位時間当たり平均λ回起こる事象の発生間隔がx単位時間である確率密度関数」ですよね。問題には何時間あたり平均何回という言葉がなかったので悩んでいます。
(1)は普通にf(X)=0.5exp(-0.5X)でいいんですか？

(2)は累積分布関数を使うので、F(1)=1-exp(-0.5*1)ですか？

1分＝1/60時間と直すひつようはありますか？

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2020/11/22 18:32

＞指数分布って「単位時間当たり平均λ回起こる事象の発生間隔がx単位時間である確率密度関数」ですよね。

それを言うなら
「（長い期間の平均で）時間 μ に１回起こるような事象の発生間隔が従う分布」
でしょう。
この事象は「単位時間当たり平均 1/μ 回起こる」ということなので、λ = 1/μ とすればあなたの言い方になります。λ は「1分間に２回」になります。
ここでいう「時間」の単位は、「μ」の単位です。

このときの確率密度関数は
　f(x) = (1/μ)e^(-x/μ)
で、変数 x は「μ」と同じ単位を持ちます。

(1) 従って、質問の場合には x を「分」の単位として
　　f(x) = (1/0.5)e^(-x/0.5) = 2e^(-2x)

λ を使うなら、λ = 1/μ = 2 (回/分) なので
　　f(x) = 2e^(-2x)

あなたは「時間間隔の平均 0.5 分」と「１分間に平均２回起きる」をごっちゃにしていますね。

(2) 確率密度関数をその区間で積分すればよいだけで
　P(x≦1) = ∫[0→1]f(x)dx = ∫[0→1]{2e^(-2x)}dx
　　　　 = [-e^(-x/0.5)][0→1]
　　　　 = -e^(-1/0.5) - (-1)
　　　　 = 1 - e^(-2)
　　　　 = 0.86466･･･
　　　　 ≒ 0.865

　
＞1分＝1/60時間と直すひつようはありますか？

「平均 0.5 分」で時間を「分」で取り扱っているのであれば「ありません」。
「平均 0.5 分」を「1/120 時間」として、x の単位を「時間」として取り扱うならそうしないといけません。