夏休み課題…

以下の問題を妹に質問されたのですが、答えは出るのですが良い教え方、式の立て方が出来ずにいます。

(1)第４項が２/９、第８項が１８である等比数列の第６項を求めよ。

(2)３で割れば２余り、尚且つ、４で割れば３余るような二桁の自然数の和を求めよ。

(3)第２項が２で、初項から第３項までの和が７である等比数列の初項と公比を求めよ。

宜しくお願い致します。

No.1 回答者： hide-- 回答日時： 2001/08/23 21:29

こんばんは。

等比数列の意味を忘れた（爆）ので、（２）だけ。

３で割れば２余るということは３の倍数－１ということで、
４で割れば３余るということは４の倍数－１ということですね。
そのため、これら２つの条件を満たす数字は、
３と４の最小公倍数＝１２の倍数－１ということでしょう。
となると、１１，２３，３５、４７，５９，７１，８３、９５ですから、
（１１＋９５）＋（２３＋８３）＋（３５＋７１）＋（４７＋５９）
＝１０６×４＝４２４ということかな？

No.2 回答者： cherry_moon 回答日時： 2001/08/23 21:39

それでは、（３）だけ。

2/r + 2 + 2r = 7
2 + 2r + 2r^2 = 7r
2r^2 - 5r + 2 = 0
(2r-1)(r-2) = 0
r = 2, 1/2

r=2 のとき a1 = 1
r=1/2 のとき a1 = 4

a1=1, a2=2, a3=4 か a1=4, a2=2, a3=1

No.3 回答者： hide-- 回答日時： 2001/08/23 21:39

再びこんばんは。

（１）はこういうことでしょうか。

第４項と第８項の間には、ある数字を４乗しているということ、
となると、１８÷（２／９）＝８１＝３の４乗ですから、
第４項の数字２／９に、３の２乗＝９をかけた２が第６項の値でしょうか。

（３）は第２項が２であるから、
公比をxとすると、２／ｘ＋２＋２ｘ＝７ということ。
２ｘの２乗－５ｘ＋２＝０
ｘ＝２or１／２
したがって、初項＝１　公比＝２
又は初項＝４　公比＝１／２
ということかな？

わかんないや。

No.4 回答者： hide-- 回答日時： 2001/08/23 22:22

３度こんばんは。

（１）の問いはよくよく考えると、虚数も考えた場合には
８１は３，－３，３ｉ，－３ｉの４乗かもしれません。
となると答えは２又は－２が正しいかもしれませんね。

No.5 回答者： seian 回答日時： 2001/08/24 10:16

(1)等比数列の一般項は、

An=A0・r^(n-1)

と表せます。n=4 と n=8 の値がわかっていますので、

A4=2/9=A0・r^3
A8=18=A0・r^7

上の2式から

r^4=81

となり、r 値としてはhide--さんがおっしゃるように
4通り考えられます。しかしその内で第4,7項を満たすのは

r=3

だけです。
よって、A6=A4・r^2=2/9・3^2=2

(2)hide--さんのおっしゃる通り、
公倍数12の倍数から-1を引いたものを足せばよい。

100/12＝8あまり4

ですから、12の倍数は100までに8個あることがわかります。
問題の数はそれぞれから1を引いたものですから
これは初項11、公差12の等差数列です。
この8個を公式にあてはめて足すと
初項=11、末項=11+(8-1)・12=95 ですから
S8={11＋95}・8/2=424 となります。

(3)等差数列の一般項は

An=A0+(n-1)・d

A1=A0
A2=A0・r=2 ----(1)
A3=A0・r^2

ですから、

A1+A2+A3=A0・(1+r+r^2)=7 ----(2)

(1)、(2)から、

2r^2-5r+2=0

というrについての方程式が導かれ、r=1/2、2
r=1/2の時、A0=4 ：４、２、１、・・・という数列
r=2の時、A0=1 ：１、２、４、・・・という数列
となります。

No.6 回答者： seian 回答日時： 2001/08/24 10:57

すみません。

No.5の回答の(3)の書き出しのところ、公差数列云々
と書いてしまいましたが、ここは(1)と同じ等比級数で関係ありませんので
この2行無視してください。