関数の一次独立について

y=x^2と、y=x^-3がお互いに一次独立であることを示す方法はありますか？

No.3 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/05/26 19:51

違います

「
お互い関数の前に変数をおき、それぞれを足した値が0
になる様に導く
」のではなく
「
お互い関数f,gの前に変数a,bをかけ、それぞれを足した値af+bgが0
」
ならば
変数a,bは0になる
時
一次独立である
という事です

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/05/26 18:05

一次独立であるかどうかを判定するためには、

ベクトル空間のスカラー体を指定しなければなりません。

例えば、 x の分数関数体をスカラー体とするベクトル空間では、
f(x) = x^2 と g(x) = x^-3 は 1f(x) + (-x^5)g(x) = 0 により
一次従属です。

スカラー体が複素数体,実数体,有理数体などの場合には、
a f(x) + b g(x) = 0 が恒等的に成り立つとすると a = b = 0 になるため
一次独立です。

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/05/26 17:20

y=x^2

y=x^(-3)

ax^2+bx^(-3)=0
↓両辺にx^3をかけると
ax^5+b=0
↓x=0とすると
b=0
↓これをax^5+b=0に代入すると
ax^5=0
↓x=1とすると
a=0
a=b=0だから
∴
y=x^2と,y=x^(-3) は一次独立である

この回答へのお礼

お答えいただきありがとうございます。
質問ですが、お互い関数の前に変数をおき、それぞれを足した値が0になる様に導くということが、一次独立であるということでしょうか？

お礼日時：2021/05/26 18:34