No.1ベストアンサー
- 回答日時:
(1)y'-2y=0
の一般解は
y=Ce^(2x)
(2)y'-2y=cos(x)
{ye^(-2x)}'
=y'e^(-2x)-2ye^(-2x)
=(y'-2y)e^(-2x)
=e^(-2x)cos(x)
ye^(-2x)
=∫{e^(-2x)cosx}dx
=-e^(-2x)(cosx)/2-(1/2)∫{e^(-2x)sinx}dx
∫{e^(-2x)sinx}dx=-e^(-2x)(sinx)/2+(1/2)∫{e^(-2x)cosx}dx
ye^(-2x)
=-e^(-2x)(cosx)/2-(1/2)∫{e^(-2x)sinx}dx
=-e^(-2x)(cosx)/2+e^(-2x)(sinx)/4-(1/4)∫{e^(-2x)cosx}dx
=-e^(-2x)(cosx)/2+e^(-2x)(sinx)/4-(1/4)ye^(-2x)
y=-(cosx)/2+(sinx)/4-(1/4)y
(5/4)y=-(cosx)/2+(sinx)/4
5y=-2cosx+sinx
5y=sinx-2cosx
∴(2)の特殊解は
y=(sinx-2cosx)/5
∴(2)の一般解は
y=(sinx-2cosx)/5+Ce^(2x)
y(0)=-2/5+C=3
C=3+2/5=17/5
∴
y=(sinx-2cosx)/5+(17/5)e^(2x)
No.2
- 回答日時:
非斉次線型微分方程式(2)の一般解は、
(2)自身のひとつの特殊解と
この方程式の斉次化方程式 y^(1) = 2y の一般解
との和で表される。
y^(1) = 2y の一般解は、初期値を与えた (1) と同様に、
積分して 2y - 2y₀ = (log x) - (log x₀) より
y = Ce^(2x) {Cは定数} によって与えられる。
あとは、(2) の特殊解を見つけるだけだが、
y^(1) - 2y = cos x を見て、直感的に
というか、経験からくる洞察によって
y = A sin x + B cos x で行けそう! と思えれば勝ち。 ←[1]
(2) へ代入して、
(A - 2B)cos x + (B + 2A)sin x = cos x となる定数 A, B は
連立一次方程式 A - 2B = 1, B + 2A = 0 の解として
A = 1/5, B = -2/5 と求まる。
以上より、(2) の一般解は
y = Ce^(2x) + (1/5)cos x - (2/5)sin x であり、
初期条件を代入すれば、
3 = C + 1/5 より C = 14/5.
よって、答えは
y = (14/5)e^(2x) + (1/5)cos x - (2/5)sin x.
[1] で敗けてしまった人は、
定数変化法とか微分演算子法とかラプラス変換法とかで
悲しい計算に深入りするしかない。御苦労さま。
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