連続型確率変数fXの確率密度関数fX(•)が fX (x) = {0, x<＝0, 2x, 0<=x

連続型確率変数fXの確率密度関数fX(•)が
fX (x) = {0, x<＝0, 2x, 0<=x<1, 0, x>=1}
であるとき、この確率変数の分散はいくらか。

この問題を自分で解いてみると↓

x<0のときfX(x)=0
0<=x<1のときfX(x)=2x
x>=1のときfX(x)=0
E[X] = ∫[-∞,0] x (0) dx + ∫[0,1] x (2x) dx + ∫[1,+∞] x (0) dx＝∫[0,1] x (2x) dx＝−1

V[X] =∫x^2f(x)dx-E^2
だから、

V[X] = ∫[-∞^2,0^2] x (0) dx + ∫[0^2,1^2] x (2x) dx + ∫[1^2,+∞^2] x (0) dx - E^2＝∫[0,1] x (2x) dx −1＝−1−1＝−2

となったのですが、答えは−2ではないようです。正しい答えと、どこが間違えているのかを教えていただきたいです。よろしくお願いします。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/07/22 00:32

とりあえず

・V[X] をどう計算するのか全く理解できていない
・定積分が計算できない
の 2点が問題じゃないかなぁ.

V[X] はどうしてそのような式なの? E[X] はどうして -1 になるの?

No.2 ベストアンサー 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2021/07/22 00:46

企業で統計を推進する立場の者です。

間違いは２箇所です。
平均E(X)の計算結果が間違っています。
分散を求める式が違っています。平均を引いて２乗しなければなりません。

E(X)＝∫x・2x dx＝2/3・x^3
これを0～1まで定積分すればよいから、E(X)＝2/3

分散の求め方は２とおりあって、

①２次の中心積率から求める
V(X)＝∫(xー2/3)^2・2x dx
＝2∫(x^2ー4/3・x＋4/9)・x dx
＝2∫(x^3ー4/3・x^2＋4/9・x)dx
＝2(1/4・x^4ー4/9・x^3＋4/18・x^2)
＝1/2・x^4ー8/9・x^3＋4/9・x^2
これを0～1まで定積分すればよいから、
V(X)＝1/2ー8/9＋4/9＝1/18

②分散の公式を用いる
まず、２乗の平均を求める
E(x^2)＝∫x^2・2x dx＝2/4・x^4
これを0～1まで定積分すればよいから、E(X^2)＝2/4

この結果を分散の公式に代入する
V(x)＝E(x^2)ーE(x)^2＝2/4ー(2/3)^2＝1/18

検算はご自分でお願いします。

この回答へのお礼

理解できました。ありがとうございました。

お礼日時：2021/07/23 10:30

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/07/22 12:26

まず、分散の値が負になった時点で「こりゃまずい」と思わなきゃね。

たぶん確率以前の話として、単に積分が苦手なんじゃないかな。

期待値から間違っていて、
E[X] = ∫[-∞,+∞] x ｆX(x) dx
　　= ∫[-∞,0] x ｆX(x) dx + ∫[0,1] x ｆX(x) dx + ∫[1,+∞] x ｆX(x) dx
　　= ∫[-∞,0] x (0) dx + ∫[0,1] x (2x) dx + ∫[1,+∞] x (0) dx
　　= ∫[0,1] x (2x) dx　←ここまでは、あってる
　　= ∫[0,1] 2x^2 dx
　　= [　(2/3)x^3　]_(0,1)　←この辺を書いてないから、どこで間違ったか判らん
　　= (2/3)1^3 - (2/3)0^3
　　= 2/3.　←結果的に値は違ってる

分散については、
V[X] =∫x^2 f(x) dx - E^2　←ここまではok
記号の不統一な使い方は気に入らないけれど、
V[X] = ∫(x - E[X])^2 fX(x) dx
　　= ∫(x^2 - 2E[X] x + E[X]^2) fX(x) dx
　　= ∫x^2 fX(x) dx - 2E[X] ∫x fX(x) dx + (E[X]^2)∫fX(x) dx
　　= ∫x^2 fX(x) dx - 2E[X] E[X] + (E[X]^2)1
　　= ∫x^2 fX(x) dx - E[X]^2
だから、言いたいことはあっている。

問題はその後の計算で、
∫[-∞,∞] x^2 fX(x) dx
　= ∫[-∞^2,0^2] x (0) dx + ∫[0^2,1^2] x (2x) dx + ∫[1^2,+∞^2] x (0) dx
という変形は気が狂っているとしかいいようがない。
どこがどう間違っているのか指摘できる範囲を超えている。
普通に計算すれば、
∫[-∞,+∞] x^2 fX(x) dx
　= ∫[-∞,0] x^2 fX(x) dx + ∫[0,1] x^2 fX(x) dx + ∫[1,+∞] x^2 fX(x) dx
　= ∫[-∞,0] x^2 (0) dx + ∫[0,1] x^2 (2x) dx + ∫[1,+∞] x^2 (0) dx
　= ∫[0,1] 2x^3 dx
　= [　(2/4)x^4　]_(0,1)
　= (2/4)1^4 - (2/4)0^4
　= 1/2
から
V[X] = ∫[-∞,+∞] x^2 fX(x) dx - E[X]^2
　　= 1/2 - (2/3)^2
　　= 1/18.