連続確率変数Xの確率密度関数fx(•)が以下のように与えられているとする。 fX(x)＝{ x+1,

連続確率変数Xの確率密度関数fx(•)が以下のように与えられているとする。
fX(x)＝{ x+1, -1<=x<0, -x+1, 0<=x<1, 0, otherwise.}
この確率変数Xの期待値E [X]を求めなさい。

この問題の手順がさっぱり分かりません。
｛｝の中の値それぞれに答えがあるのかと思ったのですが、この問題の答えは１つのようです。何にどう当てはめるための値なんでしょうか？otherwiseって何なのでしょうか？分かっていることは期待値の公式がE = xf（x）dxであるということだけです。

解説も正答もなく、本当に困っています。
途中式の説明から答えを出す所まで丁寧に教えてくださる方、どうかよろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/07/21 19:24

＞ fX(x)＝{ x+1, -1<=x<0, -x+1, 0<=x<1, 0, otherwise.}

これは、こんな書き方した奴が悪い。
控えめに言っても非常に読みにくし、
説明不足で独りよがりな記法でしかない。
ま、空気を読んで
　　-1 ≦ x < 0 のとき fX(x) = x+1,
　　0 ≦ x < 1 のとき fX(x) = -x+1,
　　それ以外の x について fX(x) = 0.
だってのは判るんだけどさ。
文や式を書くときには、読み手がエスパーであることを
前提にした書き方をしちゃいかんのよ。人として。

期待値の公式というか、定義が
E[X] = ∫ x fX(x) dx だから、
上記の fX(x) については
E[X] = ∫[-∞,+∞] x fX(x) dx
　　 = ∫[-∞,-1] x fX(x) dx + ∫[-1,0] x fX(x) dx + ∫[0,1] x fX(x) dx + ∫[1,+∞] x fX(x) dx
　　 = ∫[-∞,-1] x 0 dx + ∫[-1,0] x (x+1) dx + ∫[0,1] x (-x+1) dx + ∫[1,+∞] x 0 dx
　　 = ∫[-1,0] (x^2 + x) dx + ∫[0,1] (- x^2 + x) dx
　　 = ∫[0,1] (u^2 - u) du + ∫[0,1] (- x^2 + x) dx　　； u = - x
　　= 0.

この回答へのお礼

分かりやすかったです。
ご丁寧にありがとうございました！

お礼日時：2021/07/21 20:19

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2021/07/21 16:49

-1<=x<0のとき fX(x)=-x+1

　　0<=x<1のとき fX(x) = x+1
　　xがそれ以外のとき(otherwise) fX(x) = 0
ってことです。だから
　　∫{-∞,∞} x fX(x) dx
　　= ∫{-1,1} x fX(x) dx
　　= ∫{-1,0} x (-x+1) dx + ∫{0,1} x (x+1) dx

この回答へのお礼

ありがとうございます。

-1<=x<0のとき fX(x)=x+1
0<=x<1のとき fX(x)=−x+1

ではなく、

-1<=x<0のとき fX(x)=-x+1
0<=x<1のとき fX(x) = x+1

となるのはなぜでしょうか？

教えていただけると助かります。
理解力が乏しくてすみません（ ; ; ）

お礼日時：2021/07/21 18:00

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2021/07/21 16:47

「期待値」とは、その「実現値」と「確率」とをかけ合わせたものを、全ケースで足し合わせたもの（連続関数なら積分したもの）です。

確率 1/5 で100円が当たり、、残りの確率（4/5) が外れだったら、期待値は
　100[円] * (1/5) = 20[円]
です。

問題で、実現値 X に対する確率が各々与えられているのだから、求められるよね？
「手順」なんてなくて、「期待値」を定義通りに求めるだけだよ。