以下の２つの問題の解き方、考え方を出来るだけ分かりやすく詳細に教えてください。よろしくお願いします。

以下の２つの問題の解き方、考え方を出来るだけ分かりやすく詳細に教えてください。よろしくお願いします。

①5枚のカードが入った2つの袋(袋Xと袋Y)がある．
袋Xには2，3，4の数字の書かれたカードがそれぞれ1枚ずつと5のカードが2枚入っており，袋Yには4，5，6の数字の書かれたカードがそれぞれ1枚ずつと-1のカードが2枚入っている．それぞれの袋から1枚ずつカードを無作為に取り出す．カードに書かれている数字をそれぞれX,Y とおく（X,Y は独立とする）ときの次のそれぞれの値を求めなさい.

問1:X の期待値 E[X]
問2:Y の期待値 E[Y]
問3:分散 V[X+Y]

② A組の子供の体重は独立に正規分布 N(40,52)に従い，B組の子供の体重は独立に正規分布 N(45,72)に従うものとする．(いずれも単位はkg）210kgを超えるとブザーが鳴るエレベーターについて,次のそれぞれの場合のブザーが鳴る確率を求めなさい.

問1:A組の子供が5人乗る場合
問2:A組の子供が4人とB組の子供が1人乗る場合

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/07/24 21:02

＞ N(40,5^2) とN(45,7^2)の間違えだったのですが、

＞ 同じ考え方で解けば大丈夫でしょうか？

同じ考え方で大丈夫です。
数値が違うだけで、計算方法は同じです。

問1:
S が N(40×5,25×5) に従うことになるので
Z = (S - 40×5)/√(25×5) で変換して、
N(0,1) に従う Z が Z ≧ (210 - 40×5)/√(25×5) ≒ 0.894
となる確率を求めればいい。
正規分布表より、 確率 ≒ 0.187 です。

問2:
T が N(40×4+45,25×4+49) に従うことになるので
Z = (T - (40×4+45))/√(25×4+49) で変換して、
N(0,1) に従う Z が Z ≧ (210 - (40×4+45))/√(25×4+49) ≒ 0.410
となる確率を求めればいい。
正規分布表より、 確率 ≒ 0.341 です。

正規分布表↓
https://staff.aist.go.jp/t.ihara/normsdist.html

この回答へのお礼

解決できました。ありがとうございました。

お礼日時：2021/07/24 21:06

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/07/24 20:36

②

正規分布に独立に従う確率変数の和は、正規分布に従います。
和の平均は、両正規分布の平均の和、
和の分散は、両正規分布の分散の和になります。
これも、統計の教科書の正規分布の章に書いてあったはずです。

よって、
N(40,52) から 5人を独立に抽出すると、
和 S は N(40×5, 52×5) に従います。
この確率変数の値が S ≧ 210 になるのは、
Z = (S - 40×5)/√(52×5) で変換して
N(0,1) に従う Z が Z ≧ 0.620 になるのと同じ確率ですから、
正規分布表から、確率 ≒ 0.268 です。 約26.8%

B組の子供が入った場合も同様。
５人の体重の和 T は N(40×4+45, 52×4+72) に従うので、
この確率変数の値が T ≧ 210 になるのは
Z = (T - (40×4+45))/√(52×4+72) で変換して
N(0,1) に従う Z が Z ≧ 0.299 になる確率と同じですから、
正規分布表から、確率 ≒ 0.382 です。 約38.2%

この回答へのお礼

すみません、 N(40,5^2) とN(45,7^2)の間違えだったのですが、同じ考え方で解けば大丈夫でしょうか？

お礼日時：2021/07/24 20:48

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/07/24 20:11

①

E[X] = 2(1/5) + 3(1/5) + 4(1/5) + 5(1/5) + 5(1/5)
　　= (2 + 3 + 4 + 5 + 5)/5
　　= 19/5.
E[Y] = 4(1/5) + 5(1/5) + 6(1/5) + (-1)(1/5) + (-1)(1/5)
　　= (4 + 5 + 6 - 1 - 1)/5
　　= 13/5.
「期待値」という言葉の定義を知っていれば、
ここまでに疑問は無いはずです。 疑問なら、教科書の最初のほうへ！

X と Y が独立なので、
V[X + Y] = V[X] + V[Y] + Cov[X,Y]　　←[1]
　　　　= V[X] + V[Y] + 0
です。
V[X] = E[X^2] - E[X]^2　　←[2]
　　= { (2^2)(1/5) + (3^2)(1/5) + (4^2)(1/5) + (5^2)(1/5) + (5^2)(1/5) } - (19/5)^2
　　= 34/25,
V[Y] = E[Y^2] - E[Y]^2
　　= { (4^2)(1/5) + (5^2)(1/5) + (6^2)(1/5) + ((-1)^2)(1/5) + ((-1)^2)(1/5) } - (13/5)^2
　　= 226/25
より、
V[X + Y] = 34/25 + 226/25 = 52/5.

[1][2] の公式も、解らないようなら教科書へ戻ったほうがいいかなあ...