確率の問題です。お詳しい方よろしくお願いします。

1,2,3,4,5の数字を１つ記入したカードが、１つの数字につき２枚ずつ、合計10枚ある。ここから無作為に3枚のカードを同時に引き、出た数字を小さいものから順にX≦Y≦Zとする。このとき、

①XとYは独立であるか、ないか独立の定義を書き、その定義に従って判定せよ。

P(ⅹ∩Y）＝ｐ(x)・p(Y）なら独立で、≠なら独立ではないのでしょうが、ｐ(x)、P(Y）がそもそもよくわかりません。

質問者からの補足コメント

• x,Yの同時確率分布表を作製する問題が問（１）にあります。これを再提出とは指示されていないので、合っていると思います。
  
  この表を使って、ｐ（ｘ＝１、Y＝１）＝８/１２０　p（ｘ＝１）・p（Y＝１）＝64/120・８/120
  この場合はｐ（ｘ＝１、Y＝１）＝１/18 ≠p（ｘ＝１）・p（Y＝１）＝８/225
  で、独立ではない。と、判定するのですか。

  
    補足日時：2022/12/04 20:26

No.8 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2022/12/05 10:44

No.2へのコメントについて。

> 同時確率分布表を作って

　必要ないでしょう。

　No.6が教えて下さったように、P( )と書くと関数や述語と紛らわしいからProb( )と書くんだ、という流儀も広く行われている。（ま、ここではご質問に倣ってP( )を使うことにするが。）また、事象の集合を書く代わりに、P(Q(x,y) ∧ R(x,y)) のように書くことも多い。このQ(), R()は述語です。すなわち、x,yに何か具体的な値を代入すると、命題になる。さらに、これを事象の集合で表すなら P({(x,y)|Q(x,y)} ∩ {(x,y)|R(x,y)}) と書けば良い。もちろんP({(x,y)|Q(x,y) ∧ R(x,y)}) と同じこと。
　ところで、述語と集合をごっちゃにして"∧" と "∩" を混同する人がときどきいて、 でもまあ、意図はわかるので大抵は大目に見てもらえる。これはP( )のカッコ内では "∧"も "∩" も","で済ませる、という悪習があるための混乱だろうが、要するにワカットランということがバレるわけで、あんまり好ましくないなあ。
　…というのはさておき：

　この問題に限らず一般に、「Xの値がxであるという条件のもとでYの値がyである確率」という条件付き確率 P(Y=y | X=x)は
　　∀x∀y( P(Y=y | X=x)P(X=x) = P(Y=y ∧ X=x) )
を満たす。これを利用します。
　もしX,Yが独立なら（No.6の通り）
　　∀x∀y( P(Y=y ∧ X=x) = P(Y=y)P(X=x) )
だから、
　　∀x(P(X=x)≠0 ⇒ ∀y( P(Y=y | X=x) = P(Y=y) ))
である。そして逆に、これが成り立つならX,Yは独立である。

　言い換えれば、「X,Yが独立」とは「(P(X=x)≠0であるどんなxについても、P(Y=y | X=x)は変わらない（yだけで決まる）」ということ。（直感的にも明らかだと思うが。）

　で、「この問題の設定ではそうなってるかどうか」を考えるんです。せっかく同時確率分布表を作ったんなら一目瞭然だが、いや、同時確率分布表なんかなくても簡単ですよね。

この回答へのお礼

ありがとうございます。やっと、理解できました。ありがたいです。

お礼日時：2022/12/05 11:04

No.7 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2022/12/04 23:59

#3です。

重複があるのを忘れていました。すみません。

【相関係数行列】
__________x1________x2________x3
x1 1.0000000 0.5249568 0.3064516
x2 0.5249568 1.0000000 0.5249568
x3 0.3064516 0.5249568 1.0000000

x1 x2 x3
1 1 2
1 1 2
1 1 3
1 1 3
1 1 4
1 1 4
1 1 5
1 1 5
1 2 2
1 2 2
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 4
1 2 4
1 2 4
1 2 4
1 2 4
1 2 4
1 2 4
1 2 4
1 2 5
1 2 5
1 2 5
1 2 5
1 2 5
1 2 5
1 2 5
1 2 5
1 3 3
1 3 3
1 3 4
1 3 4
1 3 4
1 3 4
1 3 4
1 3 4
1 3 4
1 3 4
1 3 5
1 3 5
1 3 5
1 3 5
1 3 5
1 3 5
1 3 5
1 3 5
1 4 4
1 4 4
1 4 5
1 4 5
1 4 5
1 4 5
1 4 5
1 4 5
1 4 5
1 4 5
1 5 5
1 5 5
2 2 3
2 2 3
2 2 4
2 2 4
2 2 5
2 2 5
2 3 3
2 3 3
2 3 4
2 3 4
2 3 4
2 3 4
2 3 4
2 3 4
2 3 4
2 3 4
2 3 5
2 3 5
2 3 5
2 3 5
2 3 5
2 3 5
2 3 5
2 3 5
2 4 4
2 4 4
2 4 5
2 4 5
2 4 5
2 4 5
2 4 5
2 4 5
2 4 5
2 4 5
2 5 5
2 5 5
3 3 4
3 3 4
3 3 5
3 3 5
3 4 4
3 4 4
3 4 5
3 4 5
3 4 5
3 4 5
3 4 5
3 4 5
3 4 5
3 4 5
3 5 5
3 5 5
4 4 5
4 4 5
4 5 5
4 5 5

全120行

この回答へのお礼

物凄い、お手間を掛けていただいて、ありがとうございます。

お礼日時：2022/12/05 09:33

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/12/04 23:11

＞ XとYは独立であるか、ないか独立の定義を書き、その定義に従って判定せよ。

本読んだりして調べないの？
確率変数 X,Y の独立は、その確率関数の独立
∀x,y; Prob[X=x∧Y=y] = Prob[X=x]・Prob[Y=y] だよ。

この回答へのお礼

基本も分かってないことが、判明しました。ありがとうございました。

お礼日時：2022/12/05 10:59

No.5 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2022/12/04 22:26

二元表を作っているのであれば、ｍ×ｎ分割表の独立性の検定の応用じゃないかしらね。

この回答へのお礼

いろいろなこと教えて頂きありがとうございました。

お礼日時：2022/12/05 11:00

No.4 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2022/12/04 20:13

ごめんなさい。

x1,x2,x3 は、X,Y,Zです。

定数は大文字、変数は小文字の習慣があるので・・・。

この回答へのお礼

いろんなことが分かっていなかったです。ありがとうございました。

お礼日時：2022/12/05 11:00

No.3 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2022/12/04 20:02

独立の定義は「内積＝０」です。

本当はもっとスマートに数式で証明できればいいんですが、悔しいけど列挙法でいくと、

x1 x2 x3
1 1 2
1 1 3
1 1 4
1 1 5
1 2 2
1 2 3
1 2 4
1 2 5
1 3 3
1 3 4
1 3 5
1 4 4
1 4 5
1 5 5
2 2 3
2 2 4
2 2 5
2 3 3
2 3 4
2 3 5
2 4 4
2 4 5
2 5 5
3 3 4
3 3 5
3 4 4
3 4 5
3 5 5
4 4 5
4 5 5

面倒なので書かないけど、これを中心化（あるいは基準化）して１列と２列の積和（内積）を計算して０になれば直交。
基準化した行列のXTXは、相関係数行列のｎ倍だから、相関係数行列を見ても良いです。相関係数が０ならば直交。

【相関係数行列】
__________x1________x2________x3
x1 1.0000000 0.5188232 0.3757962
x2 0.5188232 1.0000000 0.5188232
x3 0.3757962 0.5188232 1.0000000

相関ありますから独立（直交）ではありません。

この回答へのお礼

私も、最初重複が抜けていました。ありがとうございました。

お礼日時：2022/12/05 11:01

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2022/12/04 17:47

「ⅹ∩Y」とお書きだが、これはたとえば X=3, Y=5 なら 3∩5 ということ。

なんだこりゃ意味不明。てことは、「P(ⅹ∩Y）＝ｐ(x)・p(Y）なら独立で、≠なら独立ではない」とお書きなのも明らかにおかしい。
　ナニがいけないかというと、 "P(A∩B)"と書くときのAやBは（事象を表す）集合でなくちゃならない。（そして、「事象の独立の定義」が「事象A, Bは独立 ⇔ P(A∩B)=P(A)P(B)」というのなら正しい。）ところが、X, Yは集合ではなくて確率変数だから、"P(Y)"とか書いても意味不明。ただのナンセンスです。

　そして、この問題は（「事象A, Bは独立か」を尋ねているのではなくて）「確率変数X, Yは独立か」を尋ねているんだから、「事象の独立の定義」を持ち出したってしょうがない。「確率変数の独立の定義」を書かないとね。

この回答へのお礼

これで、理解がかなり進みました。ありがとうございます。
補足のところで、同時確率分布表を作って解いてみました。これで合ってるでしょうか。

お礼日時：2022/12/05 09:41

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/12/04 17:06

大文字と小文字はきちんと区別すべきだと思うんだ....

「そもそもよくわかりません」ってどういうこと? 具体的にはどこまでが理解できていてどこで何につまっている?

この回答へのお礼

基本的なことも、抜けていました。ありがとうございました。

お礼日時：2022/12/05 11:02