点と線について

ユークリッド幾何学によると

点とは位置だけをもち、部分をもたないものである。

線とは幅のない長さである。

とありますが、どんな長さの線上にも無数に点が存在しているということはわかりますが、ではなぜ長さのない点が集まると線になるんですか？

似たような疑問で、円とはある点からの一定距離の点の集合であるというのも、疑問です。


誰かお願いします！

No.5 ベストアンサー 回答者： graphaffine 回答日時： 2012/03/22 13:11

>点とは位置だけをもち、部分をもたないものである。

>線とは幅のない長さである。

確かに、ユークリッドの原論ではこれが定義とされています。
一方、現代の数学では言葉の意味は全て明確でなければなりません。位置、部分、幅、長さなどの言葉も、きちんと意味を定義した上で使う必要があります。
ユークリッドの原論の定義はこの辺が曖昧なので、現代の立場の定義ではありません。

現代数学の論理の流れは、まず最初に点なら点をきちんと定義します。その点の定義は、分野によって異なり、初等的、直感的にわかるもの(要するに高校数学レベル以下)から、高度に抽象的なもの(関数や数列などを点と見るもの)などいろいろあります。


>なぜ長さのない点が集まると線になるんですか？
上に書いたように定義がいろいろあるので、それによって、なったりならなかったりします。但し、あくまで初等幾何学レベルで言えば、「線とはそのようなものだから」が答えになります。小中学校レベルでは、厳密な定義から出発することはできませんので、暗黙の了解が数多くあります。
たとえば、曖昧な言い方ですが「点の軌跡は線になる」というのもその1つです。従って、「線になる」のではなく、「線とする」のです。

No.4 回答者： atomonados 回答日時： 2012/03/22 00:04

＞一様になるとはどういう意味ですか？

ある線があって，その線は曲線か直線かどうかわからないとする。
その線上に，適当な二つの点をおくことができる。
どのようなおき方をしても，その二点で決められる方向が一つであることを，一様というのだと思います。（たとえば東西の方向にしかならないというような。）
円の場合は，円周上の任意の二点で決められる方向というのは一様ではないとなります。
（いろんな方向になりますから。）

No.3 回答者： eclipse2maven 回答日時： 2012/03/21 09:01

なぜ、線なのでしょうか？

点は

平面の要素でもあり

球面の要素でもあり


もっと高い次元　例えば　ひも理論なんかだと　１０次元や　１１次元　


あるいは　ヒルベルト空間上の要素

とも思える。

無限次元空間の体積があってもおかしくない。


って考えると　０　なのかなあ　って気がしますね。

No.2 回答者： atomonados 回答日時： 2012/03/21 01:58

No.1です。

http://www.rimath.saitama-u.ac.jp/lab.jp/fsakai/ …

I巻
原論の第I巻は定義，公理，公準で始まり，三角形の合同，定規とコンパスによる作図，平行線の性質などの後，ピタゴラスの定理で終わる．定義は23個あり，次のような調子である．ここで，線という用語は曲線という意味で用いられている．
定義

点は部分をもたないものである.
線とは幅のない長さである.
線の端は点である.
直線とはその上にある点について一様な線である.
面は長さと幅のみをもつものである.

　ユークリッドの原論の定義は上のようになっていますね。点は位置ではなく，大きさを持たないわけでもなく，部分をもたないものなのですね。古代の幾何学と位置とを関係づけて代数的に取り扱ったのは，近世デカルトの『方法序説』ではなかったですかね。
　それで，教科書的には，図形をはじめから点の集合とみなして座標上の図形として考える方向にもっていこうとしてちぐはぐな定義になったのではと思います。

　ユークリッドのイメージでは，点は分割できない微小のものとしてどちらかというと具体的であるように思う。出来るだけ小さく描くにしても，その場所を意識して現実的なのかもしれない。また線は，端があるなら，線の端という部分である点とそれ以外の部分からなる。そして線は端以外はまったく抽象的な幅をもたない長さとしてある。図形として描いたとしても，線は現実のものとしての印象が薄い。線分の場合はこんな感じかな。（点●は大きすぎるけど強調したものと見て，また横線は連続の一本と見てください）

　●────●　　

　「直線とはその上にある点について一様な線である」 線は点の集合なんて一言も言っていないですね。

─────●─●─●─●─●─────────────

　こんな感じ。まず（直線を含めて曲）線というものがあり，その上に点を並べたら一様になる特殊な線を直線という。

この回答への補足

一様になるとはどういう意味ですか？

お願いします。

補足日時：2012/03/21 16:12

No.1 回答者： atomonados 回答日時： 2012/03/21 01:14

＞ではなぜ長さのない点が集まると線になるんですか？

　長さのない点が集まって線になると言うのは私もおかしいと思います。長さ0をいくら足しても0のままですからね。
　長さの微小量が集まると言うのなら分かります。すなわちこのようにいうときは，点は位置ではなく，（また無限小の大きさの点というのでもなく）微小だけれども有限な大きさをもったものです。

　人が何かを認識する場合に，認識の形式というものを持っていると考え方があります。人には認識の形式をいろいろ持っていて，その都度，実用的な認識に切り替えています。
　そして一度に多数の形式を用いることはできない。或いは困難であるようです。だからある一つの形式を用いて見る姿が現れている時には，別の形式による姿は隠れてしまいます。

　「点は位置である」という認識形式と「点は微小量の長さをもつ線である」という認識形式の違いは先ほど述べました。これらを一つの形式の中にまとめようとすると，ご質問の矛盾が生じます。この矛盾を認識対象から取除くために，どうしたかというと，認識の機構そのものに始めから矛盾の構造を持たせて理解するのです。

　線についても「(有限大の微小)点の集合」という認識形式と，「部分に分割されないもの」という認識形式があります。
　これはちょっと分かりにくいと思いますので，たとえ話をすると，映画の静止画と動画の関係です。静止画が連続的に再生されたとき，私たちが見る映像は滑らかになっていて，登場人物などは決して時間の中で切れ切れに分かれる存在としては認識しません。これは物理現象的に捉える形式のほかに，一人の人間として捉える形式を人は持っているということです。つまり，多でなく一で捉える形式です。認識形式は，多を見れば一が消え，一を見れば多が消えるような関係になっているのです。

＞似たような疑問で、円とはある点からの一定距離の点の集合であるというのも、疑問です。

　「円とはある点から一定の距離にある（微小有限大の）点の集合」という定義は一つの認識形式です。それに対して「円とはある点から等距離に広がる閉じた曲線である」という定義（即席で作りましたので厳密でないかもしれませんが）をするような認識形式があるということです。

　認識形式の矛盾で有名な例を思い出しました。天動説と地動説です。太陽が地球の周りをまわっているのか，地球が太陽の周りをまわっているのか。二つの見方を合体してしまうと矛盾ですが，それぞれに正しい。そして，天動説で見るときには地動説の見方では見えず，地動説の見方をする時には天動説の見方ができません。こういう訳です。