この問題の解き方を教えてください(高二数学・指数関数)

346の問題です。
『0でない実数x,y,zが3^x=5^y=15^zを満たす時、等式1/x+1/y+1/zが成り立つ事を証明せよ。』

3を底とする式に変換して
log[3]3^x=log[3]5^y=log[3]15^z
→x=ylog[3]5=zlog[3]15までは分かるのですが
その後がわかりません。

No.2 ベストアンサー 回答者： kairou 回答日時： 2021/10/10 12:05

＞その後がわかりません。

そのまま 証明したい式に 代入するだけです。
底を 3 に固定したのですから、底の記載は 省略します。
x=ylog5=zlog15 → y=x/log5, z=x/log15 。
(1/x)+(1/y)=(1/x)+{(log5)/x}=(1+log5)/x 。
1/z=(log15)/x=(log3+log5)/x=(1+log5)/x .
従って (1/x)+(1/y)=1/z 。

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2021/10/09 21:46

3ˣ=5ʸ=15ᶻ=kと置く。

x=log₃k=logₖk/logₖ3=1/logₖ3
y=log₅k=logₖk/logₖ5=1/logₖ5
z=log₁₅k=logₖk/logₖ15=1/logₖ15なので、
1/x=1/(1/logₖ3)=logₖ3

同様に
1/y=logₖ5
1/z=logₖ15

等式1/x+1/y=1/zで、

左辺
=1/log₃k+1/log₅k
=logₖ3+logₖ5
=logₖ(3・5)=logₖ15
=右辺